Enunciado

A seção de treliça piramidal BCDEF é simétrica em relação ao plano vertical x-z, como mostrado. Os cabos AE, AF e AB suportam uma carga de 5 kN. Determine a força no membro BE.

Passo 1

Uma vez que a treliça e o carregamento são simétricos ao plano xOz, as forças nos membros AE e AF são iguais, bem como as forças nos membros BE (BD) e BF (BC)

Podemos escrever o vetor de força AE como um produto de sua magnitude AE ​​e um vetor unitário de direção de força n A → E

A E → = A E n A → E

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e E são

A ( 360,0 , 0 ) E ( 0 , - 300,440 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever como n A → E

n A E → = A E → A E ¯

= X E - X A i → + Y E - Y A j → + Z E - Z A k → X E - X A 2 + Y E - Y A 2 + Z E - Z A 2 = ( 0 - 360 ) i → + ( - 300 - 0 ) j → + ( 440 - 0 ) k → ( 0 - 360 ) 2 + ( - 300 - 0 ) 2 + ( 440 - 0 ) 2 = - 360 i → - 300 j → + 440 k → 360 2 + 300 2 + 440 2 = - 0.560 i → - 0.467 j → + 0.684 k →

A E ¯ = A E ( - 0.560 i → - 0.467 j → + 0.684 k → )

Passo 2

Podemos escrever o vetor de força AF como um produto de sua magnitude AF e um vetor unitário de direção de força n A → F

A F → = A F n A → F

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e F são

A ( 360,0 , 0 ) F ( 0,300,440 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n A → F como

n A F → = A F → A F ¯

= X F - X A i → + Y F - Y A j → + Z F - Z A k → X F - X A 2 + Y F - Y A 2 + Z F - Z A 2 = ( 0 - 360 ) i → + ( 300 - 0 ) j → + ( 440 - 0 ) k → ( 0 - 360 ) 2 + ( 300 - 0 ) 2 + ( 440 - 0 ) 2 = - 360 i → + 300 j → + 440 k → 360 2 + 300 2 + 440 2 = - 0.560 i → + 0.467 j → + 0.684 k →

A F → = A F ( - 0.560 i → + 0.467 j → + 0.684 k → )

Passo 3

Podemos escrever o vetor de força AB como um produto de sua magnitude AB e um vetor unitário de direção de força n A → B

A B → = A B n A → B

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e B são

A ( 360,0 , 0 ) B ( 720,0 , 800 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n A → B como

n A B → = A B → A B ¯

= X B - X A i → + Y B - Y A j → + Z B - Z A k → X B - X A 2 + Y B - Y A 2 + Z B - Z A 2 = ( 720 - 360 ) i → + ( 0 - 0 ) j → + ( 800 - 0 ) k → ( 720 - 360 ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 + ( 800 - 0 ) 2 = 360 i → + 0 j → + 800 k → 360 2 + 0 2 + 800 2 = 0.410 i → + 0.000 j → + 0.912 k →

A B = A B ( 0.410 i → + 0.000 j → + 0.912 k → )

Passo 4

Podemos notar que a força de 5 kN é paralela ao eixo z, portanto, podemos escrevê-la como

F → = ( 0 i → + 0 j → - 5 k → ) k N

Ao analisar a junta A, podemos determinar o membro de força AB

Presumimos que todos os membros estão em tensão

∑ F = 0

A E + A F + A B → + F → = 0 A E ( - 0.56 i → - 0.467 j → + 0.684 k → ) + A F ( - 0.56 i → + 0.467 j → + 0.684 k → ) + A B ( 0.41 i → + 0 j → + 0.912 k → ) + ( 0 i → + 0 j → - 5 k → ) = 0 ( - 0.56 A E - 0.56 A F + 0.41 A B ) i → + ( - 0.467 A E + 0.467 A F ) j → + + ( 0.684 A E + 0.684 A F + 0.912 A B - 5 ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.56 A E - 0.56 A F + 0.41 A B = 0 (1)

∑ F Y = 0

- 0.467 A E + 0.467 A F = 0 (2)

∑ F Z = 0

0.684 A E + 0.684 A F + 0.912 A B - 5 = 0 (3)

Passo 5

Uma vez que as forças AE e AF são iguais, podemos escrever a equação (1) como

- 1.12 A E + 0.41 A B = 0 (1)

Podemos expressar as forças AE e AF em função de AB

A E = A F = 0.41 1.12 A B A E = A F = 0.366 A B

Agora podemos substituir AE e AF por 0,366AB na equação (3), a fim de determinar a força no membro AB

0.684 A E + 0.684 A F + 0.912 A B - 5 = 0 0.684 ⋅ 0.366 A B + 0.684 ⋅ 0.366 A B + 0.912 A B - 5 = 0 1.413 A B - 5 = 0 A B = 5 1.413 A B = 3.539 k N

Agora podemos escrever o vetor A B → como

A B →   = 3.539 ( 0.410 i → + 0.000 j → + 0.912 k → ) k N A B   = ( 1.451 i → + 0.000 j → + 3.228 k → ) k N

Observe que o vetor (BA) ⃗ é oposto ao vetor AB ⃗, então podemos escrevê-lo como

B A → = ( - 1.451 i → + 0.000 j → - 3.228 k → ) k N

Ao analisar a junta B e usando simetria, podemos determinar a força no membro BE

Mais uma vez, assumimos que todos os membros estão em tensão

Passo 6

Podemos escrever o vetor de força BC como um produto de sua magnitude BC e um vetor unitário de direção de força n B C B C →

B C → = B C n B C →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e B são

B ( 720,0 , 800 ) C ( 0,300,1160 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n B → C como

= X C - X B i → + Y C - Y B j → + Z C - Z B k → X C - X B 2 + Y C - Y B 2 + Z C - Z B 2 = ( 0 - 720 ) i → + ( 300 - 0 ) j → + ( 1160 - 800 ) k → ( 0 - 720 ) 2 + ( 300 - 0 ) 2 + ( 1160 - 800 ) 2 = - 720 i → + 300 j → + 360 k → 720 2 + 300 2 + 360 2 = - 0.838 i → + 0.349 j → + 0.419 k →

B C = B C ( - 0.838 i → + 0.349 j → + 0.419 k → )

Passo 7

Podemos escrever o vetor de força BD como um produto de sua magnitude BD e um vetor unitário de direção de força n B C B D

B D = B D n B → D

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos B e D são

B ( 720,0 , 800 ) D ( 0 , - 300,1160 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n B → D como

n B D = B D → B D ¯

= X D - X B i → + Y D - Y B j → + Z D - Z B k → X D - X B 2 + Y D - Y B 2 + Z D - Z B 2 = ( 0 - 720 ) i → + ( - 300 - 0 ) j → + ( 1160 - 800 ) k → ( 0 - 720 ) 2 + ( - 300 - 0 ) 2 + ( 1160 - 800 ) 2 = - 720 i → - 300 j → + 360 k → 720 2 - 300 2 + 360 2 = - 0.838 i → - 0.349 j → + 0.419 k →

B D = B D ( - 0.838 i → - 0.349 j → + 0.419 k → )

Passo 8

Podemos escrever o vetor de força BF como um produto de sua magnitude BF e um vetor unitário de direção de força n B C B F

B F → = B F n B → F

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos B e F são

B ( 720,0 , 800 ) F ( 0,300,440 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n B → F como

n B F = B F → B F ¯

= X F - X B i → + Y F - Y B j → + Z F - Z B k → X F - X B 2 + Y F - Y B 2 + Z F - Z B 2 = ( 0 - 720 ) i → + ( 300 - 0 ) j → + ( 440 - 800 ) k → ( 0 - 720 ) 2 + ( 300 - 0 ) 2 + ( 440 - 800 ) 2 = - 720 i → + 300 j → - 360 k → 720 2 + 300 2 + 360 2 = - 0.838 i → + 0.349 j → - 0.419 k →

B F → = B F ( - 0.838 i → + 0.349 j → - 0.419 k → )

Passo 9

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

B C → + B D → + B E → + B F → + B A → = 0 B C ( - 0.838 i → + 0.349 j → + 0.419 k → ) + B D ( - 0.838 i → - 0.349 j → + 0.419 k → ) + B E ( - 0.838 i → - 0.349 j → - 0.419 k → ) + B F ( - 0.838 i → + 0.349 j → - 0.419 k → ) + ( - 1.451 i → + 0 j → - 3.228 k → ) = 0 ( - 0.838 B C - 0.838 B D - 0.838 B E - 0.838 B F - 1.451 ) i → + + ( 0.349 B C - 0.349 B D - 0.349 B E + 0.349 B F ) j → + + ( 0.419 B C + 0.419 B D - 0.419 B E - 0.419 B F - 3.228 ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.838 B C - 0.838 B D - 0.838 B E - 0.838 B F - 1.451 = 0 (4)

∑ F Y = 0

0.349 B C - 0.349 B D - 0.349 B E + 0.349 B F = 0 (5)

∑ F Z = 0

0.419 B C + 0.419 B D - 0.419 B E - 0.419 B F - 3.228 = 0 (6)

Passo 10

Uma vez que sabemos por simetria que as forças BC e BD são iguais, bem como as forças BE e BF, podemos escrever a equação (4) como

- 1.676 B C - 1.676 B E - 1.451 = 0

Multiplicando por 0.838 1.676 , temos

- 0.838 B C - 0.838 B E - 0.726 = 0

Também podemos escrever a equação 6 como

0.838 B C - 0.838 B E - 3.228 = 0

Finalmente, adicionando as equações (7) e (8), podemos determinar a força BE

( 7 ) + ( 8 ) = - 1.676 B E - 3.954 = 0

B E = - 3.954 1.676 B E = - 2.359 k N

uma vez que obtivemos resultado negativo, isso significa que o membro BE está em compressão

B E = 2.359 k N C

Resposta

B E = 2.359 k N C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as forças nos membros BC, BE e BF. Os triângulos são equiláteros.
Determine a força no membro BE da treliça carregada.
Determine as forças nos membros BC, CF e EF da treliça carregada.
Determine as forças nos membros CG e GH da treliça carregada simetricamente.
A treliça suporta uma rampa (mostrada com uma linha tracejada) que se estende de um nível de aproximação fixo próximo à junta F até um nível de saída fixo próximo a J. As cargas mostradas representam