Enunciado

Sob ação da força P , a aceleração constante do bloco B é de 3   m / s ² para a direita. No instante em que a velocidade de B é de 2   m / s para a direita, determine a velocidade de B em relação a A , a aceleração de B em relação a A , e a velocidade absoluta do ponto C do cabo.

Passo 1

O bloco B é o da direita, e o bloco A é o da esquerda. É essencial ter uma mentalidade mais “geométrica” para resolver esses problemas, não fique muito apegado à física, porque essas situações não são fáceis de imaginar.

Em geral, para resolver esses problemas, você deve associar a velocidade de alguém com algum valor geométrico!

Vamos começar definindo um referencial de deslocamento: o zero vai estar à esquerda do bloco A :

Usando esse referencial a gente pode dar nomes às posições das roldanas, ao ponto C e ao encaixe no chão.

Passo 2

Olhe bem para a figura, vamos escrever uma expressão para o comprimento L da corda:

L = s 2 - s 1 + s 2 - s 1 + s 2 - s 1 + ( s 3 - s 1 )

L = 3 s 2 - s 1 + s 3 - s 1 = 3 s 2 - 4 s 1 + s 3

Ok. A roldana s 1 está presa ao bloco A , e a roldana s 2 está presa ao bloco B , ou seja: as derivadas temporais dessas posições são as velocidades de A e B .

v A = d d t s 1 = s 1 ˙

v B = d d t s 2 = s 2 ˙

E o ponto s 3 está preso ao chão, então sua derivada é nula, porque ela é constante no tempo, assim como o comprimento da corda.

d d t L = L ˙ = 0

d d t s 3 = s 3 ˙ = 0

Então derivando a fórmula do comprimento:

L = 3 s 2 - 4 s 1 + s 3

L ˙ = 3 s 2 ˙ - 4 s 1 ˙ + s 3 ˙

0 = 3 v B - 4 v A + 0

3 v B = 4 v A

Beleza, temos nosso primeiro resultado importante.

Passo 3

Agora podemos derivar essa expressão mais uma vez, para encontrar uma relação entre as acelerações dos blocos:

3 v B = 4 v A

3 v B ˙ = 4 v A ˙

3 a B = 4 a A

Ok, então temos:

3 v B = 4 v A 3 a B = 4 a A

E o primeiro objetivo é: determinar a velocidade de B em relação a A quando v B = 2 m / s .

3 v B = 4 v A         ⇒             v A = 3 2 4 = 1,5   m / s

Então a velocidade de B em relação a A é:

v B ' = v B - v A = 0,5   m / s

Passo 4

O segundo objetivo é: sabendo que a aceleração do bloco B é constante e igual a 3   m / s 2 , qual a aceleração do bloco B em relação a A . Vamos fazer a mesma coisa de antes:

3 a B = 4 a A         ⇒             a A = 3 3 4 = 2,25   m / s

E então a aceleração relativa é:

a B ' = a B - a A = 3 - 2,25 = 0,75   m / s 2

Passo 5

Agora falta descobrir a velocidade absoluto do ponto C do cabo.

Vamos escrever uma expressão para o comprimento do cabo entre o ponto C e a extremidade do cabo que está presa ao bloco B .

l = s 2 - s 1 + ( C - s 1 )

Aqui estamos desconsiderando aquele “pedacinho” de cabo entre a roldana e o bloco, o que não vai fazer diferença no final das contas, já que vamos derivar essa expressão.

d d t l = d d t ( s 2 - 2 s 1 + C )

0 = v B - 2 v A + v C

v C = 2 v A - v B

E usando as velocidades que nós calculamos lá em cima:

v C = 2 1,5 - 2 = 1,0   m / s

Agora sim, resolvido!

Resposta

A velocidade de B em relação a A é 0,5   m / s e a aceleração é 0,75   m / s 2 . A velocidade absoluta do ponto C é 1,0   m / s .

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