Enunciado

50. O carrinho de 30   k g é acionado pela força harmônico mostrada na figura. Se c = 0 , determine a faixa das frequências de excitação ω para a qual o módulo da resposta em regime permanece é inferior a 75   m m .

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai lembrar a fórmula da frequência natural do sistema, que é dada por:

ω n = k m

Onde k é a constante de mola e m a massa do carrinho.

ω n = 1080   N / m 30   k g

ω n = 36

ω n = 6   r a d / s

Passo 2

Agora, vamos lembrar a fórmula da amplitude X :

X = F 0 / k 1 - ω / ω n 2

Onde F 0 é o valor da força de excitação inicial e ω a frequência que a gente quer:

X = ( 25   N ) / ( 1080   N / m ) 1 - ω / 6 2

X = 0,02315 1 - ω 2 36

X = 0,02315 36 - ω 2 36

X 36 - ω 2 36 = 0,02315

X 36 - ω 2 = 0,02315 ⋅ 36

36 - ω 2 = 0,8334 X

36 - 0,8334 X = ω 2

ω = 36 - 0,8334 X

Passo 3

Como temos a fórmula da frequência angular em função da amplitude do regime, vamos aplicar o módulo do valor máximo que queremos de amplitude (módulo porque a amplitude pode variar de - 75   m m até 75   m m ) e encontrar o valor das frequências que queremos:

X < 0,075   m

- 0,075   m < X < 0,075   m

Vamos então substituir esses dois valores na fórmula da frequência que obtivemos no final do P a s s o   2 , para só depois ver as condições em que vão estar nossa desigualdade

Para X > - 0,075   m , temos que:

ω 1 = 36 - 0,8334 ( - 0,075 )

ω 1 = 36 + 11,112

ω 1 = 47,112

ω 1 = 6,86 r a d / s

Agora para X = 0,075   m :

ω 2 = 36 - 0,8334 0,075

ω 2 = 36 - 11,112

ω 2 = 24,888

ω 2 = 4,99   r a d / s

Pronto! Esses valores são os que iremos usar em nossa desigualdade. Porém, resta a dúvida em relação a que intervalos devemos usar? Se for prestar bem atenção, ao calcularmos o valor da amplitude X para alguma frequência entre ω 1 e ω 2 , vamos ver que ela será superior a 75   m m , quer ver só:

Peguemos ω = 5,5   r a d / s :

X = 0,02315 1 - ( 5,5   r a d / s ) 2 36

X = 144,9   m m

Agora, peguemos um valor maior do que 6,86   r a d / s , por exemplo 7   r a d / s :

X = 0,02315 1 - 7   r a d / s 2 36

X = 64,1   m m

Viu só! Com isso, temos que os valores que a frequência angular pode assumir para a amplitude X não ser superior a 75   m m são ω < 4,99 r a d / s   o u   ω > 6,86   r a d / s   .

Resposta

Os valores que a frequência angular pode assumir para a amplitude X não ser superior a 75   m m são:

ω < 4,99 r a d / s   o u   ω > 6,86   r a d / s

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