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Substitua as duas forças atuando no mastro por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento M → associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto P no plano y - z pelo qual passa a linha de ação do torçor.

Passo 1

Vamos começar calculando a força resultante. Para isso precisamos escrever cada força em forma vetorial:

F → 1 = T   j ^

F → 2 = T   i ^

E então a força resultante é:

R → = F → 1 + F → 2

R → = T   i ^ + T   j ^

Já que vamos montar um torçor, vamos precisar do vetor unitário na direção de R → , e é uma boa calculá-lo de uma vez:

R ^ = R → R → = T   i ^ + T   j ^ T 2 + T 2 = 1 2 i ^ + j ^

Passo 2

Agora vamos calcular o momento associado a essas forças. A tensão que atua mais acima produz rotação em torno do eixo x , no sentido horário:

M x = - ( T ) ( 4 a )

M → x = - 4 T a   i ^

E a tensão que atua mais abaixo produz rotação em torno do eixo y , no sentido anti-horário:

M y = ( T ) ( 3 a )

M → y = 3 T a   j ^

Então o momento total é:

M → O = - 4 T a   i ^ + 3 T a   j ^

Passo 3

Agora queremos substituir as duas forças atuando no mastro por um torçor. Podemos definir totalmente esse torçor se especificarmos as coordenadas do ponto de aplicação, e qual é o momento M → associado.

Sabemos que o torçor, para ser equivalente à força que vai substituir, precisa satisfazer a seguinte equação:

M → O = r → × R → + M →

Onde r → é o vetor posição que liga a origem ao ponto de ação no plano y - z . Temos os seguintes vetores:

M → O = - 4 T a   i ^ + 3 T a   j ^

r → = y   j ^ + z   k ^

R → = T   i ^ + T   j ^

E M → é um vetor paralelo ao R → , e aqui podemos aproveitar o vetor unitário que calculamos no passo 1 :

M → = M 1 2 i ^ + j ^

Passo 4

Agora vamos tentar resolver essa equação:

M → O = r → × R → + M →

- 4 T a   i ^ + 3 T a   j ^ = y   j ^ + z   k ^ × T   i ^ + T   j ^ + M 1 2 i ^ + j ^

O primeiro passo é resolver o produto vetorial do lado direito:

y   j ^ + z   k ^ × T   i ^ + T   j ^ = i ^ j ^ k ^ 0 y z T T 0

y   j ^ + z   k ^ × T   i ^ + T   j ^ = T z   j ^ - T y k ^ - ( T z i ^ )

E substituindo isso de volta na equação principal:

- 4 T a   i ^ + 3 T a   j ^ = T z   j ^ - T y k ^ - T z i ^ + M 2 i ^ + M 2 j ^

Agora vamos igualar cada componente:

- 4 T a = - T z + M 2

3 T a = T z + M 2

0 = - T y

E podemos usar esse sistema para encontrar x e y .

0 = - T y         ⇒           y = 0

E vamos substituir a segunda equação na primeira:

- 4 T a = - T z + ( 3 T a - T z )

z = 7 2 a

Passo 5

Agora podemos usar qualquer uma daquelas equações para calcular o módulo do momento M :

3 T a = T z + M 2

Substituindo z = 7 a 2 :

3 T a = 7 T a 2 + M 2

M = 2 T a 3 - 7 2 = - 2 2 T a

E então o vetor M → é:

M → = M 1 2 i ^ + j ^

M → = - T a 2 i ^ + j ^

Resposta

As coordenadas são y = 0 e z = 7 2 a . O momento é M → = - T a 2 i ^ + j ^ .

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