Enunciado

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Substitua as duas forças atuando na moldura por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto P no plano y - z pelo qual passa a linha de ação do torçor. Observe que a força de módulo F é paralela ao eixo x .

Passo 1

Primeiro precisamos calcular a força resultante, e para isso vamos escrever as duas forças do desenho em forma vetorial:

F → 1 = F   i ^

F → 2 = - 3 F   k ^

E então a força resultante é:

R → = F → 1 + F → 2

R → = F   i ^ - 3 F   k ^

E como o enunciado pede para construirmos um torçor, é uma boa ideia já encontrar o vetor unitário na direção dessa força resultante:

R ^ = R → R → = F   i ^ - 3 F   k ^ F 2 + 9 F 2 = 1 10 i ^ - 3 k ^

Passo 2

E vamos calcular também os momentos associados a essas forças em relação à origem.

A força de módulo F favorece a rotação em torno do eixo y no sentido anti-horário, e em torno do eixo z no sentido horário:

M → y = F 2 a = 2 F a   j ^

M → z = - F a = - F a   k ^

E como a linha de ação da outra força passa pela origem, ela não produz nenhum momento, e então o momento total é:

M → O = M → y + M → z

M → O = 2 F a   j ^ - F a   k ^

Passo 3

Agora queremos substituir essas forças por um torçor. Conforme o enunciado pediu, podemos definir esse torçor se especificarmos um ponto no plano y - z pelo qual passa a linha de açaõ do torçor, e o veotr M → associado.

Sabemos que precisamos satisfazer a seguinte equação:

M → O = r → × R → + M →

E temos as seguintes expressões para esses vetores:

M → O = 2 F a   j ^ - F a   k ^

r → = y   j ^ + z   k ^

R → = F   i ^ - 3 F   k ^

E para o vetor M → vamos aproveitar o vetor unitário R ^ que construímos lá no passo 1 :

M → = M   R ^

M → = M 1 10 i ^ - 3 k ^

Passo 4

Agora vamos substituir tudo na equação principal:

2 F a   j ^ - F a   k ^ = y   j ^ + z   k ^ × F   i ^ - 3 F   k ^ + M 10 i ^ - 3 M 10 k ^

Uma boa forma de resolver essa equação é começar pelo produto vetorial:

y   j ^ + z   k ^ × F   i ^ - 3 F   k ^ = i ^ j ^ k ^ 0 y z F 0 - 3 F

y   j ^ + z   k ^ × F   i ^ - 3 F   k ^ = - 3 F y i ^ + F z j ^ - F y k ^

Beleza, agora vamos jogar isso de volta na equação principal:

2 F a   j ^ - F a   k ^ = - 3 F y i ^ + F z j ^ - F y k ^ + M 10 i ^ - 3 M 10 k ^

Igualando cada uma das componentes ficamos com três equações:

0 = - 3 F y + M 10

2 F a = F z

- F a = - F y - 3 M 10

E podemos resolver esse sistema para encontrar y , z e M .

Passo 5

Pela segunda equação, temos o seguinte:

2 F a = F z

z = 2 a

E substituindo a primeira equação na terceira:

- F a = - F y - 3   3 F y

- F a = - 10 F y

y = a 10

E agora podemos substituir isso em qualquer uma das equações para encontrar M :

0 = - 3 F y + M 10

0 = - 3 F a 10 + M 10

M = 3 10 10 F a

E então o vetor M → é:

M → = M 1 10 i ^ - 3 k ^

M → = 3 10 F a ( i ^ - 3 k ^ )

Pronto!

Resposta

A força resultante é R → = F ( i ^ - 3 k ^ ) e o momento do torçor é M → = 3 10 F a i ^ - 3 k ^ . As coordenadas devem ser y = a 10 e z = 2 a .

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