Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

A placa retangular fina está submetida às quatro forças mostradas. Determine o sistema força-binário equivalente em O . Qual é a resultante do sistema?

Passo 1

Vamos começar escrevendo formas vetoriais para todas as forças. Começando pela que age sobre o ponto O , e depois percorrendo o retângulo no sentido horário:

F → 1 = - F   k ^

F → 2 = F   k ^

F → 3 = F sen ⁡ 30 °   j ^ + F cos ⁡ 30 °   k ^

F → 4 = - F sen ⁡ 30 °   j ^ - F cos ⁡ 30 °   k ^

Dá pra ver que as forças formam dois pares exatamente opostos, então a força resultante vai se anular:

R → = F → 1 + F → 2 + F → 3 + F → 4

R → = 0

Passo 2

Então nosso sistema força-binário vai incluir apenas um momento M → gerado por essas forças.

Como temos dois pares de forças com módulos e direções iguais, mas sentidos opostos, podemos calcular os momentos usando a seguinte fórmula:

M → = r → × F →

Que vale para binários de força. Onde r → é o vetor posição que une os pontos onde as forças são aplicadas, e F → é o vetor de uma das forças.

Passo 3

Começamos pelo par de forças que agem sobre o eixo y :

M → 1 = r → 1 × F → 1

r → 1 = - b   j ^

O vetor posição vai do ponto de aplicação da força F 2 até a o da F 1 (poderia ser o contrário se usássemos F → 2 para calcular o momento).

M → 1 = - b j ^ × - F k ^

E como o produto vetorial dos vetores unitários é j ^ × k ^ = i ^ (use a regra da mão direita!):

M → 1 = F b   i ^

Passo 4

Agora faremos a mesma coisa para o outro par de forças.

M → 2 = r → 2 × F → 4

O vetor r → 2 é igual ao r → 1 que usamos ali em cima, afinal de contas estamos usando lados simétricos de um retângulo:

r → 2 = - b   j ^

F → 4 = - F sen ⁡ 30 °   j ^ - F cos ⁡ 30 °   k ^

M → 2 = - b   j ^ × - F sen ⁡ 30 °   j ^ - F cos ⁡ 30 °   k ^

Vamos usar a propriedade distribuitiva:

M → 2 = - b   j ^ × - F sen ⁡ 30 °   j ^ + - b   j ^ × - F cos ⁡ 30 °   k ^

E usando a regra da mão direita vemos que j ^ × j ^ = 0 e j ^ × k ^ = i ^ :

M → 2 = - F b 3 2   i ^

E agora já podemos calcular o momento total:

M → = M → 1 + M → 2

M → = F b 1 + 3 2 i ^

Resposta

O sistema força-binário é composto por R → = 0 → e M → = F b 1 + 3 2 i ^ .

Exercícios de Livros Relacionados

O motor montado na cantoneira suporta seu peso de 160   N e seu e
A nave espacial do Prob. 2 / 129 está repetida aqui. A ideia é ligar q
Substitua as duas forças atuando na moldura por um torçor. Escreva na
Ao apertar um parafuso cujo centro está no ponto O , uma pessoa exerce
Represente por uma única força R → , em A e por um momento M → a resul