Enunciado

Três forças de uma mesma intensidade P atuam no cubo de lado a como mostrado na figura. Substiua as três forças por um torsor equivalente e determine a a intensidade, a direção e o sentido da resultante R , b o passo do torsor, c o eixo do torsor.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A resultante é dada pela soma das forças. Como estão em direções diferentes, vamos representar vetorialmente:

R = P i + P j + P k

A magnitude é dad por:

R = P 2 + P 2 + P 2

R = 3 P 2

Portanto:

R = P 3

Passo 2

O momento resultante em relação ao ponto O é dado por:

M O = a j × P i + a k × P j + a i × P k

Resolvendo, temos:

M O = - P a k + - P a i + - P a j

M O = - P a i + j + k

A magnitude é dada por:

M O = - P a 2 + - P a 2 + - P a 2

M O = - P a 3

Passo 3

As direções da resultante são dadas dividindo cada uma de suas componentes pela intensidade:

cos ⁡ θ x = R x R = P P 3 = 1 3

cos ⁡ θ y = R y R = P P 3 = 1 3

cos ⁡ θ z = R z R = P P 3 = 1 3

Resolvendo, obtemos:

θ x = arccos ⁡ 1 3 = 54,7 °

θ y = arccos ⁡ 1 3 = 54,7 °

θ z = arccos ⁡ 1 3 = 54,7 °

Passo 4

Item b:

O passo do torsor é dado pela divisão entre a intensidade do torsor pela intensidade da resultante:

p = M O R

p = - P a 3 P 3

p = - a

Passo 5

Item c:

A direção do torsor M O é a mesma da resultante R .

cos ⁡ θ x = M x M = - P a - P a 3 = 1 3

cos ⁡ θ y = M y M = - P a - P a 3 = 1 3

cos ⁡ θ z = M z M = - P a - P a 3 = 1 3

Resolvendo, obtemos:

θ x = arccos ⁡ 1 3 = 54,7 °

θ y = arccos ⁡ 1 3 = 54,7 °

θ z = arccos ⁡ 1 3 = 54,7 °

Resposta

a )   R = P 3

θ x = 54,7 °

θ y = 54,7 °

θ z = 54,7 °

b )   p = - a

c ) θ x = 54,7 °

θ y = 54,7 °

θ z = 54,7 °

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