Enunciado

Quando um suporte ajustável B C é usado para aprumar uma parede, o sistema força-binário mostrado na figura é exercido sobre a parede. Substitua esse sistema força-binário por um sistema força-binário equivalente em A , sabendo que R = 94   N e M = 18   N ⋅ m .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para calcularmos os valores necessários, vamos criar um vetor B C representando a estaca. O mesmo é calculado como a diferença entre as coordenadas do ponto C e as coordenadas do ponto B , logo:

B 0 ;   2 , 4 ;   1,6

C 1,07 ;   0 ;   1,2  

B C → = C - B

B C → = 1,07 i ^ - 2,4 j ^     - 0,4 k ^ m

Passo 2

Temos então o vetor B C na direção da estaca. No entanto, este vetor tem comprimento diferente do valor de uma unidade.

O processo de transformação de um vetor de comprimento qualquer para um vetor unitário se chama normalização. Vamos normalizar B C :

λ B C = B C → B C →

Temos que:

B C → = 1,07 2 + - 2,4 2 + - 0,4 2

B C → = 2,658   m

Portanto:

λ B C = 1,07 i ^ - 2,4 j ^ - 0,4 k ^ 2,658

λ B C = 0,403 i ^ - 0,903 j ^ - 0,150 k ^

Passo 3

Podemos representar vetorialmente a força R → e o momento M → agora:

R → = 94 λ B C

R → = 94 0,403 i ^ - 0,903 j ^ - 0,150 k ^

R → = 37,88 i ^ - 84,88 j ^ - 14,10 k ^   N

E como para a força, não importa o ponto de aplicação, ela deslocada para o ponto A , será a mesma coisa:

R A → = 37,88 i ^ - 84,88 j ^ - 14,10 k ^   N

Passo 4

Para o momento, temos:

M → = - 18 λ B C

Repare no desenho, que a direção do momento é oposta a direção do vetor B C → e por isso, usamos - 18 , com o sinal de menos no módulo do momento.

M → = - 18 0,403 i ^ - 0,903 j ^ - 0,150 k ^

M → = - 7,254 i ^ + 16,25 j ^ + 2,700 k ^   N ⋅ m

Para o cálculo do momento resultante em A , precisamos calcular os vetores deslocamentos. Para cada ponto em que exista uma força aplicada, existirá um vetor deslocamento com origem em A e fim no ponto de aplicação, portanto:

r c → = 1,07 i + 1,2 k

Obs: Podíamos escolher a distância entre qualquer ponto na linha de aplicação da força e o ponto A , aqui eu escolhi a distância entre o ponto C e o ponto A , mas poderia por exemplo ter escolhido a distância entre o ponto B e A .

Agora, podemos calcular o momento resultante em A , através do produtor vetorial do vetor deslocamento e das forças. Temos que:

M A → = r C → × R → + M →

Logo:

M A → = i ^ j ^ k ^ 1,07 0 1,2 37,88 - 84,88 - 14,10 + - 7,254 i ^ + 16,25 j ^ + 2,700 k ^

M A → = 1,2 37,88 j ^ + 1,07 - 84,88 k ^ - 1,2 - 84,88 i ^ - 1,07 - 14,10 j ^ + - 7,254 i ^ + 16,25 j ^ + 2,700 k ^

Resolvendo, temos:

M A → = 94,60 i ^ + 76,79 j ^ - 88,12 k ^   N m

E assim, fechamos essa!

Resposta

R A → = 37,88 i ^ - 84,88 j ^ - 14,10 k ^   N

M A → = 94,60 i ^ + 76,79 j ^ - 88,12 k ^   N m

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