Enunciado

O tanque de armazenamento de água é uma concha de revolução e deve ser pulverizado com duas camadas de tinta que tem uma cobertura de 500 pés2 por galão. O engenheiro (que se lembra da mecânica) consulta um desenho em escala do tanque e determina que a linha curva ABC tem um comprimento de 34 pés e que seu centroide está a 8,2 pés da linha central do tanque. Quantos galões de tinta serão usados para o tanque incluindo a coluna cilíndrica vertical?

Passo 1

Lembre-se dos teoremas de Pappus que a superfície externa de um corpo pode ser encontrada pela fórmula:

A = θ y - L

E o Volume pode ser encontrado pela fórmula:

V = θ y - A

y - representa a distância do centro de massa do eixo de revolução

Para o primeiro corpo (parte esférica), sabemos que o centro de massa do centro de massa em relação à linha de centro do tanque e comprimento ou ABC são:

r - A B C = 8.2   ft

L A B C = 34   ft

Passo 2

Quanto ao cilindro, precisamos encontrar a distância do centro de massa ao eixo vertical. Como o corte bidimensional de um cilindro em relação ao eixo z é um círculo, a distância do eixo vertical ao centro do círculo é r 2 , então, neste caso:

r - c = r 2 = 8 2 = 4   ft

E o perímetro das laterais do cilindro é:

L c = 18   ft

Em seguida, precisamos encontrar θ , uma vez que a revolução é 360 ° , escrevemos:

θ = 2 π

Finalmente, estamos procurando encontrar a Área da superfície aqui, então usaremos a primeira fórmula do Teorema de Pappus:

A = θ r - L

Passo 3

Usando isso para ambos os corpos, uma vez que a superfície total é a soma dos corpos individuais:

A = 2 π r - A B C L A B C + r - c L c = 2 π 8.2 ∙ 34 + 4 ∙ 18 = 2204   ft 2

Como sabemos que sabemos que nossa tinta pode cobrir 500 pés2 por galão de tinta, dividimos a área com 500 para ver quanta tinta precisamos para uma cobertura

P = A 500 = 4.41  

Como queremos descobrir quanta tinta é necessária para duas capas, multiplicamos o número acima por 2

P t o t a l = 4.41 ∙ 2 = 8.82  

Resposta

Divida os corpos em dois. Comece encontrando a distância do centro de massa do cilindro ao eixo vertical. Em seguida, encontre o ângulo de revolução em radianos. Aplique os teoremas de Pappus para encontrar a área da superfície e, então, você poderá descobrir a quantidade de tinta por capa. Cuidado, pois o problema pergunta quanta tinta é necessária para duas capas!

P = 8.82

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