Enunciado

O tanque está cheio de um líquido com densidade de 900   k g / m 3 . Determine a força resultante que ele exerce sobre a placa elíptica no fundo, e a localização do centro de pressão, medido a partir do eixo x .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta é uma questão bem direta ao ponto. Precisamos calcular a força resultante e a coordenada y - do ponto de aplicação desta força. Só isto mesmo.

O problema está exatamente na nossa geometria. Por ser uma elipse, vai dar um trabalhinho na hora de calcular. Mas também não é nada que a gente não consiga!

Relembrando, para calcularmos esses dois valores, temos que utilizar a seguinte relação:

F R = ∫ A p x , y d A y - = ∫ A y p x , y d A ∫ A p x , y d A

Então, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar a questão calculando a força resultante. Para isto, vamos identificar quem é a função p x , y e os limites de integração da área.

A pressão nós sabemos que varia apenas com a altura da coluna de fluido. Como o sistema de coordenadas está no meio da placa, então, a pressão será escrita por:

p = ρ g 0,5 - y

p = 900 ⋅ 9,81 ⋅ 0,5 - y

p = 8829 0,5 - y

A relação 0,5 - y surge exatamente para corrigir a altura da coluna de fluido! Percebam que quando y = 0,5 (topo da placa), a pressão é nula, já que não tem nenhuma coluna de fluido!

Já para os limites de integração, temos que lembrar um pouco de Cálculo! Analisando a nossa região como do tipo II, com limites - 0,5 ≤ y ≤ 0,5 e - 1 - 4 y 2 ≤ x ≤ 1 - 4 y 2 , temos:

F R = ∫ A p x , y d A

F R = ∫ - 0,5 0,5 ∫ - 1 - 4 y 2 1 - 4 y 2 8829 0,5 - y d x d y

F R = ∫ - 0,5 0,5 17658 1 - 4 y 2 0,5 - y d y

Resolvendo esta integral nós obtemos:

F R = 6934   N = 6,93   k N

Passo 3

Agora a gente tem que fazer algo semelhante ao Passo 2, só que para a equação de y - . O bom aqui é que boa parte desta relação já foi trabalhada (identificar a pressão e os limites de integração).

Então, o nosso trabalho será braçal. Apenas fazer contas!

Sendo assim, temos:

y - = ∫ A y p x , y d A ∫ A p x , y d A = ∫ A y p x , y d A F R

y - = ∫ - 0,5 0,5 ∫ - 1 - 4 y 2 1 - 4 y 2 8829 y 0,5 - y d x d y 6934

y - = ∫ - 0,5 0,5 17658 y 1 - 4 y 2 0,5 - y d y 6934

y - = - 866,8 6934

y - = - 0,125   m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F R = 6,93   k N

y - = - 0,125   m

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