Enunciado

Em um teste para determinar as características de esmagamento de embalagens de poliestireno, um cone de aço de massa m é largado de modo que caia uma distância h e então penetre no material. A resistência R do poliestireno à penetração depende da área da seção transversal do objeto penetrante e, portanto, é proporcional ao quadrado da distância x de penetração de cone, ou R = k x 2 . Se o cone atinge o repouso em uma distância x = d , determine a constante k em termos das condições do ensaio e dos resultados.

Passo 1

Pessoal, ao cair uma distância h , o cone adquire uma velocidade que chamaremos de v 0 , calculada assim:

v 0 2 = 2 g h

v 0 = 2 g h

A partir daí, além do peso, passa a atuar a força de resistência R , em sentido contrário. Aplicando a Segunda Lei de Newton:

m g - R = m a

m g - k x 2 = m a

a x = g - k m x 2

Passo 2

Como temos a aceleração em função de x , podemos utilizar a seguinte equação diferencial:

v   d v = a   d x

v   d v = g - k m x 2 d x

Integrando cada lado:

∫ v 0 v v d v = ∫ 0 x g - k m x 2 d x

v 2 2 v 0 v = g x - k 3 m x 3 0 x

v 2 2 - v 0 2 2 = g x - k 3 m x 3

Passo 3

Para calcular o valor da constante k , substituímos v 0 2 = 2 g h , como já calculamos, e também v = 0 para x = d , pois o cone atinge o repouso aí:

0 2 2 - 2 g h 2 = g d - k 3 m d 3

k 3 m d 3 = g d + g h

k = 3 m g d 3 d + h

Resposta

k = 3 m g d 3 d + h

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