Enunciado

Repita o Prob. 2/59, salvo que o carro B , em vez de possuir uma aceleração constante, agora acelera conforme mostrado no gráfico a seguir. O instante de tempo t 2 é o momento em que a velocidade permanece constante. Compare o seu resultado com o indicado para o Prob. 2/59.

Prob. 2/59: Um carro A viaja a uma velocidade constante de 100   k m / h . Quando na posição mostrada no instante de tempo t = 0 , o carro B tem uma velocidade de 40   k m / h e acelera a uma taxa constante de 0,1 g ao longo de sua trajetória até que atinja uma velocidade de 100   k m / h , depois do que viaja em uma velocidade constante. Qual é a posição em regime permanente do carro A com relação ao carro B ?

Passo 1

Para determinar a posição relativa, precisamos primeiro determinar a posição de cada carro em função do tempo, beleza?

Observe que o carro B faz um trajeto de um quarto de círculo de raio r = 100   m até chegar na horizontal, ou seja, até chegar no vértice superior direito do quadrado desenhado. Perceba que o carro A chega até esse mesmo ponto por meio de um lado desse quadrado, cuja medida é também igual ao raio r .

Isso significa que, se considerarmos esse vértice como a origem do nosso sistema de coordenadas, a posição inicial do carro A será:

x 0 A = - 100   m

Como o carro A tem uma velocidade constante v A = 100   k m / h = 27,78   m / s , temos:

x A ( t ) = x 0 A + v A t

x A t = - 100 + 27,78 t

Passo 2

Para o carro B , teremos dois momentos. Até o instante t 1 , que iremos calcular mais tarde, o carro desenvolve uma aceleração constante a = 0,1 g , partindo de v 0 B = 40   k m / h = 11,11   m / s até alcançar v 1 B .

Podemos calcular essa velocidade graficamente, lembrando que a área abaixo do gráfico de a × t nos dá a variação de velocidade. Então, considerando a área do triângulo e lembrando que a velocidade ao final de t 2 deve ser v 2 B = 100   k m / h = 27,78   m / s :

v 2 B - v 1 B = 1 2 a   t 2 - t 1

27,78 - v 1 B = 1 2 0,1   .   9,8 5

v 1 B = 25,33   m / s

Passo 3

Show! Agora que a gente sabe a velocidade v 1 B do carro B no instante t = t 1 , podemos calcular que instante é esse:

v 1 B = v 0 B + a t 1

2 5,33 = 11,11 + 0,1   .   9,8 t 1

t 1 = 14,5   s

E então o instante t 2 será dado por:

t 2 - t 1 = 5

t 2 = 5 + 14,5

t 2 = 19,5   s

Assim, já podemos calculamos a posição do carro A ao final de todo o processo, no instante t 2 , com a equação que já obtivemos no P a s s o   1 :

x A t = - 100 + 27,78 t

x A t 2 = - 100 + ( 27,78 ) ( 1 9,5 )

x A t 1 = 441,7   m

Passo 4

Para o carro B , lembre-se que antes de ele chegar à origem do sistema, ele passa por um trajeto em forma de um quarto de círculo de raio r = 100   m , e portanto, sua posição inicial será:

x 0 B = - 1 4 2 π r = - π 2 100   m

x 0 B = - 157 , 1   m

Então, vamos calcular a posição de B quando t = t 1 , já que temos aceleração constante:

x B t 1 = x 0 B + v 0 B t 1 + 1 2 a t 1 2

x B t 1 = - 157 , 1 + 11,11 1 4,5 + 1 2 0,1   .   9,8 1 4,5 2

x B t 1 = 1 07   m

Passo 5

Para calcular a posição do carro B em t 2 , vamos considerar a aceleração média entre os instantes t 1 e t 2 :

a m = a 1 + a 2 2 = 0,1 g + 0 2

a m = 0,05 g

Dica: podemos fazer essa média aritmética simples com os valores inicial e final de uma dada quantidade quando a variação dela é linear, como nesse caso.

Assim, podemos tratar o movimento do carro B nesse intervalo de tempo entre t 1 e t 2 como se ele tivesse aceleração constante a = a m e escrever a seguinte equação:

x B = x 0 + v 0 t + 1 2 a m t 2

Mas, como estamos considerando que o movimento se inicia no instante t 1 , teremos x 0 = x B t 1 = 107   m , v 0 = v 1 B = 25,33   m / s , e o tempo t equivalente ao instante t 2 será t = 5   s :

x B t 2 = 107 + ( 25,33 ) ( 5 ) + 1 2 0,05   .   9,8 5 2

x B t 2 = 239,8   m

Passo 6

Finalmente, como os carros passam a viajar com a mesma velocidade depois do instante t = t 2 , eles permanecem indefinidamente com a mesma distância relativa do instante t 2 . Ou seja, para o nosso objetivo, basta calcular a distância relativa entre os carros no instante t 2 :

x A B = x A t 2 - x B t 2 = 441,7 - 239,8

x A B = 202   m

Ou seja, em regime permanente, o carro A fica sempre 202   m à frente do carro B . Comparando com o resultado do Prob. 59/2, em que A fica à frente de B por ≈ 199   m , a diferença foi bem pequena.

Resposta

A à frente de B por 202   m

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