Enunciado

Um carro A viaja a uma velocidade constante de 100   k m / h . Quando na posição mostrada no instante de tempo t = 0 , o carro B tem uma velocidade de 40   k m / h e acelera a uma taxa constante de 0,1 g ao longo de sua trajetória até que atinja uma velocidade de 100   k m / h , depois do que viaja em uma velocidade constante. Qual é a posição em regime permanente do carro A com relação ao carro B ?

Passo 1

Para determinar a posição relativa, precisamos primeiro determinar a posição de cada carro em função do tempo, beleza?

Observe que o carro B faz um trajeto de um quarto de círculo de raio r = 100   m até chegar na horizontal, ou seja, até chegar no vértice superior direito do quadrado desenhado. Perceba que o carro A chega até esse mesmo ponto por meio de um lado desse quadrado, cuja medida é também igual ao raio r .

Isso significa que, se considerarmos esse vértice como a origem do nosso sistema de coordenadas, a posição inicial do carro A será:

x 0 A = - 100   m

Como o carro A tem uma velocidade constante v A = 100   k m / h = 27,78   m / s , temos:

x A ( t ) = x 0 A + v A t

x A t = - 100 + 27,78 t

Passo 2

Para o carro B , teremos dois momentos. Até o instante t 1 , que iremos calcular, o carro desenvolve uma aceleração constante a = 0,1 g , partindo de v 0 B = 40   k m / h = 11,11   m / s até alcançar v B = 100   k m / h = 27,78   m / s :

v B = v 0 B + a t 1

27,78 = 11,11 + 0,1   .   9,8 t 1

t 1 = 17   s

Agora vamos calcular qual a posição do carro A depois de t = 17   s :

x A t 1 = - 100 + 27,78   .   17

x A t 1 = 3 72 , 3   m

Passo 3

Para o carro B , lembre-se que antes de ele chegar à origem do sistema, ele passa por um trajeto em forma de um quarto de círculo de raio r = 100   m , e portanto, sua posição inicial será:

x 0 B = - 1 4 2 π r = - π 2 100   m

x 0 B = - 157 , 1   m

Então, vamos calcular a posição de B quando t = t 1 :

x B t 1 = x 0 B + v 0 B t 1 + 1 2 a t 1 2

x B t 1 = - 157 , 1 + 11,11 17 + 1 2 0,1   .   9,8 17 2

x B t 1 = 173,4   m

Passo 4

Finalmente, como os carros passam a viajar com a mesma velocidade depois do instante t = t 1 , eles permanecem indefinidamente com a mesma distância relativa do instante t 1 . Ou seja, para o nosso objetivo, basta calcular a distância relativa entre os carros no instante t 1 :

x A B = x A t 1 - x B t 1 = 3 72 , 3 - 173,4

x A B = 199   m

Ou seja, em regime permanente, o carro A fica sempre 199   m à frente do carro B .

Resposta

A à frente de B por 199   m

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