Enunciado

A treliça espacial mostrada é presa aos suportes fixos em A, B e E e é carregada pela força L que tem componentes xey iguais, mas nenhum componente z vertical. Mostre que há um número suficiente de membros para proporcionar estabilidade interna e que sua colocação é adequada para esse fim. Em seguida, determine as forças nos membros CD, BC e CE.

Passo 1

Verificaremos se a treliça é estaticamente determinada internamente pela equação abaixo

m + 6 = 3 j

Onde m é um número de membros e j número de juntas. Esta treliça contém seis juntas e doze membros

m = 12 j = 6 12 + 6 = 3 ⋅ 6 18 = 18

Uma vez que a equação é satisfeita e cada junta tem pelo menos três membros conectados, isso significa que a treliça é determinada estaticamente

Podemos ver que existem três forças desconhecidas agindo no ponto F, portanto, analisando a junta F, podemos determinar a força CF

Podemos notar que a força FE é paralela ao eixo x, então podemos escrevê-la como

F → E = F E ( 1 i → + 0 k → + 0 j → )

Enquanto a força L está fazendo um ângulo de 45∘ com eixo x negativo para que possamos escrevê-lo como

L → = L - c o s ⁡ 45 ∘ i → + s i n ⁡ 45 ∘ k → + 0 j → L → = L ( - 0.707 i → + 0.707 k → + 0 j → )

Podemos escrever o vetor de força FC como um produto de sua magnitude CF e um vetor unitário de direção de força n F → C

F C → = C F n F →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos F e C são

F ( - 1 a , 0,2 a ) C ( - 1 a , - 1 a , 0 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n F → C como

n F C → = F C → F C ¯

= X C - X F i → + Y C - Y F j → + Z C - Z F k → X C - X F 2 + Y C - Y F 2 + Z C - Z F 2 = ( - 1 + 1 ) i → + ( - 1 - 0 ) j → + ( 0 - 2 ) k → ( - 1 + 1 ) 2 + ( - 1 - 0 ) 2 + ( 0 - 2 ) 2 = 0 i → - 1 j → - 2 k → 0 2 - 1 2 - 2 2 = 0.000 i → - 0.447 j → - 0.894 k →

F C = C F ( 0.000 i → - 0.447 j → - 0.894 k → )

Passo 2

Podemos escrever o vetor de força FD como um produto de sua magnitude DF e um vetor unitário de direção de força n F → D

F D → = D F n F → D

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos F e D são

F ( - 1 a , 0,2 a ) D ( - 1 a , 1 a , 0 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n F → D como

n F D F → D = F D → F D ¯

= X D - X F i → + Y D - Y F j → + Z D - Z F k → X D - X F 2 + Y D - Y F 2 + Z D - Z F 2 = ( - 1 + 1 ) i → + ( 1 - 0 ) j → + ( 0 - 2 ) k → ( - 1 + 1 ) 2 + ( 1 - 0 ) 2 + ( 0 - 2 ) 2 = 0 i → + 1 j → - 2 k → 0 2 + 1 2 - 2 2 = 0.000 i → + 0.447 j → - 0.894 k →

F D → = D F ( 0.000 i → + 0.447 j → - 0.894 k → )

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

F → C + F D → + F E + L → = 0 C F ( 0 i → - 0.447 j → - 0.894 k → ) + D F ( 0 i → + 0.447 j → - 0.894 k → ) + E F ( 1 i → + 0 j → + 0 k → ) + L ( - 0.707 i → + 0.707 j → + 0 k → ) = 0 ( E F - 0.707 L ) i → + ( - 0.447 C F + 0.447 D F + 0.707 L ) j → + ( - 0.894 C F - 0.894 D F ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

E F - 0.707 L = 0 (1)

∑ F Y = 0

- 0.447 C F + 0.447 D F + 0.707 L = 0 (2)

∑ F Z = 0

- 0.894 C F - 0.894 D F = 0 (3)

Podemos multiplicar a equação (2) por 0.894 0.447

0.894 0.447 ( 2 ) = - 0.894 C F + 0.894 D F + 1.414 L = 0 (4)

Ao adicionar as equações (3) e (4), obteremos uma equação com apenas uma incógnita

( 3 ) + ( 4 ) = - 1.778 C F + 1.414 L = 0

C F = 1.414 L 1.778 C F = 0.795 L

Passo 3

Podemos notar que agora existem três forças desconhecidas agindo no ponto C, então, analisando a junta C, podemos determiná-las

Presumimos que todos os membros estão em tensão

Podemos notar que as forças CB e CD são paralelas aos eixos xey respectivamente, então podemos escrevê-las como

C B = B C ( 1 i → + 0 k → + 0 j → ) C D = C D ( 0 i → + 1 k → + 0 j → )

Observe que o vetor C F → é oposto ao vetor F → C →

C F → = C F ( 0.000 i → + 0.447 j → + 0.894 k → ) C F → = 0.795 L ( 0.000 i → + 0.447 j → + 0.894 k → ) C F → = ( 0.000 i → + 0.355 j → + 0.711 k → ) L

Passo 4

Podemos escrever o vetor de força C E → como um produto de sua magnitude CE e um vetor unitário de direção de força n C E →

C E → = C E n C → E

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos C e E são

C ( - 1 a , - 1 a , 0 ) E ( 0,0 , 2 a )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n C → E como

n C E → = C E → C E ¯

= X E - X C i → + Y E - Y C j → + Z E - Z C k → X E - X C 2 + Y E - Y C 2 + Z E - Z C 2 = ( 0 + 1 ) i → + ( 0 + 1 ) j → + ( 2 - 0 ) k → ( 0 + 1 ) 2 + ( 0 + 1 ) 2 + ( 2 - 0 ) 2 = 1 i → + 1 j → + 2 k → 1 2 + 1 2 + 2 2 = 0.408 i → + 0.408 j → + 0.816 k →

C E → = C E ( 0.408 i → + 0.408 j → + 0.816 k → )

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

C B → + C D → + C E → + C F → = 0 B C ( 1 i → + 0 j → + 0 k → ) + C D ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) + C E ( 0.408 i → + 0.408 j → + 0.816 k → ) + ( 0 i → + 0.355 L j → + 0.711 L k → ) = 0 ( B C + 0.408 C E ) i → + ( C D + 0.408 C E + 0.355 L ) j → + ( 0.816 C E + 0.711 L ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

B C + 0.408 C E = 0 (5)

∑ F Y = 0

C D + 0.408 C E + 0.355 L = 0 (6)

∑ F Z = 0

0.816 C E + 0.711 L = 0 (7)

Da equação (7) podemos determinar a força no membro CE

0.816 C E + 0.711 L = 0                                                     ( 7 )   C E = - 0.711 L 0.816 C E = - 0.871 L

Como obtivemos resultado negativo, isso significa que o membro CE está em compressão

C E = 0.871 L C

Podemos substituir a força CE na equação (5) por seu valor para determinar a força BC

B C + 0.408 C E = 0                                                                                               ( 5 ) B C = - 0.408 C E B C = - 0.408 ( - 0.871 L )

B C = 0.355 L T

Finalmente, podemos substituir a força CE na equação (6) por seu valor para determinar a força CD

C D + 0.408 C E + 0.355 L = 0                                                                               ( 6 ) C D = - 0.408 C E - 0.355 L C D = - 0.408 ( - 0.871 L ) - 0.355 L

C D = 0

Resposta

B C = 0.355 L T C D = 0 C E = 0.871 L C

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