Enunciado

Para a treliça espacial mostrada, verifique a suficiência dos apoios e também a quantidade e disposição das barras para garantir a determinação estática, tanto externa quanto interna. Por inspeção, determine as forças nos membros DC, CB e CF. Calcule a força na barra AF e o componente x da reação na treliça em D.

Passo 1

Verificaremos se a treliça é estaticamente determinada internamente pela equação abaixo

m + 6 = 3 j

onde m é um número de membros e j número de juntas. Esta treliça contém seis juntas e doze membros

m = 12 j = 6 12 + 6 = 3 ⋅ 6 18 = 18

Uma vez que a equação é satisfeita e cada junta tem pelo menos três membros conectados, isso significa que a treliça é determinada estaticamente

Primeiro, analisaremos a junta C para determinar as forças nos membros CF, CD e BC

Podemos notar que apenas a força CF tem componente z, portanto, ao igualar a soma das forças na direção z a zero, podemos determiná-la

Triângulo △ DCF é equilátero, portanto, o membro CF faz o ângulo de 60∘ com o eixo x

∑ F Z = 0

C F s i n ⁡ 60 ∘ = 0 C F = 0

Ao igualar a soma das forças na direção x - e y - a zero, podemos determinar as forças nos membros BC e CD

∑ F X = 0

C B = 0

∑ F Y = 0

- C D - C F c o s ⁡ 60 ∘ = 0 C D = - C F c o s ⁡ 60 ∘ C D = 0

Passo 2

A partir do diagrama de corpo livre, ao igualar a soma dos momentos em torno do eixo que passa pelo ponto A e é paralelo ao eixo z a zero, a única incógnita será a força DX

∑ M Z A = 0

- 1.5 a ⋅ D X + 0.5 a ⋅ P c o s ⁡ 45 ∘ = 0 D X = 0.5 a ⋅ P c o s ⁡ 45 ∘ 1.5 a D X = 0.236 P

Podemos ver que existem quatro forças desconhecidas atuando no ponto F, portanto, devemos primeiro calcular a força no membro EF ou DF

Podemos determinar a força EF analisando a junta E, mas para determinar a força DF, devemos calcular o componente z da força de reação em D a partir do diagrama de corpo livre

Equacionando a soma dos momentos em torno do eixo que passa pelo ponto A e é paralelo ao eixo x a zero, a única incógnita será a força DZ

∑ M X A = 0

- 1.5 a ⋅ D Z + a s i n ⁡ 60 ∘ ⋅ P c o s ⁡ 45 ∘ = 0 D Z = a s i n ⁡ 60 ∘ ⋅ P c o s ⁡ 45 ∘ 1.5 a D Z = 0.408 P

Ao analisar a junta D, podemos notar que apenas a força DF tem componente z, portanto, ao igualar a soma das forças na direção z a zero, podemos determiná-la

Triângulo △ DCF é equilátero, portanto, o membro CF faz o ângulo de 60∘ com o eixo x

Vamos supor que todos os membros estejam em tensão

∑ F Z = 0

D Z + D F s i n ⁡ 60 ∘ = 0 D F = - D Z sin ⁡ 60 ∘ D F = - 0.408 P sin ⁡ 60 ∘ D F = - 0.471 P

Passo 3

Agora que determinamos as forças EF e DF, podemos analisar a junta F, uma vez que existem três forças desconhecidas atuando nela

Sabemos que os membros DF e EF estão em compressão, então as forças DF e EF vão em direção ao ponto F

Uma vez que o membro EF é paralelo ao eixo y, podemos escrevê-lo como

E F = 0.707 P ( 0 i → - 1 j → + 0 k → ) E F → = ( 0 i → - 0.707 j → + 0 k → ) P

Podemos escrever o vetor de força DF como um produto de sua magnitude DF e um vetor unitário de direção de força nD ⃗F

D F → = D F n D → F

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos D e F são

F 0,0 , a s i n ⁡ 60 ∘

D ( 0.5 a , 0,0 ) F ( 0,0 , 0.866 a )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever nD ⃗F como

n D → F = D F ¯ D F ¯

= X F - X D i → + Y F - Y D j → + Z F - Z D k → X F - X D 2 + Y F - Y D 2 + Z F - Z D 2 = ( 0 - 0.5 ) i → + ( 0 - 0 ) j → + ( 0.866 - 0 ) k → ( 0 - 0.5 ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 + ( 0.866 - 0 ) 2 = - 0.5 i → + 0 j → + 0.866 k → 0.5 2 + 0 2 + 0.866 2 = - 0.500 i → + 0.000 j → + 0.866 k →

D F = 0.471 ( - 0.500 i → + 0.000 j → + 0.866 k → ) P D F = ( - 0.234 i → + 0.000 j → + 0.408 k → ) P

Passo 4

Podemos escrever o vetor de força FB como um produto de sua magnitude FB e um vetor unitário de direção de força n F B →

F B → → = B F n F → B

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos F e B são

F ( 0,0 , 0.866 a ) B ( - 0.5 a , 1.5 a , 0 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n F → B como

n F B F → B = F B → F B ¯

= X B - X F i → + Y B - Y F j → + Z B - Z F k → X B - X F 2 + Y B - Y F 2 + Z B - Z F 2 = ( - 0.5 - 0 ) i → + ( 1.5 - 0 ) j → + ( 0 - 0.866 ) k → ( - 0.5 - 0 ) 2 + ( 1.5 - 0 ) 2 + ( 0 - 0.866 ) 2 = - 0.5 i → + 1.5 j → - 0.866 k → 0.5 2 + 1.5 2 + 0.866 2 = - 0.277 i → + 0.832 j → - 0.480 k →

F B = B F ( - 0.277 i → + 0.832 j → - 0.480 k → )

Podemos escrever o vetor de força FA como um produto de sua magnitude AF e um vetor unitário de direção de força n F → A

F A → = A F n F →

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos A e F são

F ( 0,0 , 0.866 a ) A ( 0.5 a , 1.5 a , 0 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, podemos escrever n F → A como

n F A = F A → F A ¯

= X A - X F i → + Y A - Y F j → + Z A - Z F k → X A - X F 2 + Y A - Y F 2 + Z A - Z F 2 = ( 0.5 - 0 ) i → + ( 1.5 - 0 ) j → + ( 0 - 0.866 ) k → ( 0.5 - 0 ) 2 + ( 1.5 - 0 ) 2 + ( 0 - 0.866 ) 2 = 0.5 i → + 1.5 j → - 0.866 k → 0.5 2 + 1.5 2 + 0.866 2 = 0.277 i → + 0.832 j → - 0.480 k →

F A → = A F ( 0.277 i → + 0.832 j → - 0.480 k → )

Passo 5

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

F A → + F B → + F C → ⏞ = 0 + D F → + E F → = 0 A F ( 0.277 i → + 0.832 j → - 0.48 k → ) + B F ( - 0.277 i → + 0.832 j → - 0.48 k → ) + ( - 0.234 i → + 0.000 j → + 0.408 k → ) P + ( 0 i → - 0.707 j → + 0 k → ) P = 0 ( 0.277 A F - 0.277 B F - 0.234 P ) i → + ( 0.832 A F + 0.832 B F - 0.707 P ) j → + ( - 0.48 A F - 0.48 B F + 0.408 P ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

0.277 A F - 0.277 B F - 0.234 P = 0 (1)

∑ F Y = 0

0.832 A F + 0.832 B F - 0.707 P = 0 (2)

∑ F Z = 0

- 0.48 A F - 0.48 B F + 0.408 P = 0 (3)

Multiplique a equação (1) por 0.832 0.277

0.832 0.277 ( 1 ) = 0.832 A F - 0.832 B F - 0.703 P = 0 (4)

Adicionando as equações (2) e (4) obteremos a equação em que AF é a única incógnita

( 2 ) + ( 4 ) = 2 ⋅ 0.832 A F - 0.703 P - 0.707 P = 0

A F = 0.703 P + 0.707 P 2 ⋅ 0.832

A F = 0.847 P T

Resposta

C B = C D = C F = 0 D X = 0.236 P A F = 0.847 P T

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