Enunciado

A treliça espacial é sustentada por uma junta esférica em D e ligações curtas em C e E . Determine a força em cada membro e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Considere F 1 = 200 i + 300 j - 500 k   k N e F 2 = 400 j   k N .

Passo 1

Para determinar as forças, deve-se fazer o diagrama de corpo livre de cada membro no qual sejam indicadas todas as forças atuando no respectivo membro.

Além disso, é possível fazer uma análise prévia das forças aplicadas ao sistema e das reações nos pontos de fixação e determinar algumas informações adicionais. Para tanto, o DCL de todo o sistema é:

A partir do desenho, é possível descobrir algumas das reações fazendo:

∑ F x = 0 → D x + 200 = 0

D x = - 200   k N

∑ M z = 0 → - C y 3 - 400 3 - 200 4 = 0

∴ C y = - 666,7   k N

∑ M y = 0 → C z 3 - 200 3 = 0

C z = 200   k N

Passo 2

Então, escolhendo a junta F primeiro e fazendo o seu DCL, tem-se que:

Com isso, é possível determinar as forças atuando nos membros C D e C B da treliça através do equilíbrio de forças.

Então,

∑ F y = 0 → F B F = 0

Como ainda não é possível determinar as outras forças, esta parte será retomada mais à frente.

Passo 3

Para a junta B :

Então, fazendo o equilíbrio de forças:

∑ F z = 0 → F B C = 0

∑ F y = 0 → 400 - F B E 4 5 = 0

F B E = 500   k N

∑ F x = 0 → F A B - F B E 3 5 = 0

F A B = 300   k N

A força F B E está agindo sobre o membro, então, possui caráter trativo. Enquanto isso, a força F A B age sobre a junta e, logo, possui caráter compressivo.

Passo 4

Para a junta A :

Então, fazendo o equilíbrio de forças:

∑ F x = 0 → 200 + F A B - F A C 3 34 = 0

F A C = 200 + 300 34 3 ∴ F A C = 971,8   k N

∑ F z = 0 → F A C 3 34 - 500 + F A D 3 5 = 0

971,8 3 34 - 500 + F A D 3 5 = 0 ∴ F A D = 0

∑ F y = 0 → F A E + 300 - F A D 4 5 - F A C 4 34 = 0

F A E + 300 - 971,8 4 34 = 0 ∴ F A E = 366,7   k N

As forças F A C e F A D agem nos membros da treliça e, por isso, possuem caráter trativo.

A força F A E está agindo sobre o pino, então, possui caráter compressivo.

Passo 5

Em seguida, para a junta E :

Com o equilíbrio de forças tem-se:

∑ F z = 0 → F D E = 0

∑ F x = 0 → F E F - F B E 3 5 = 0

F E F = 500 3 5 ∴ F E F = 300   k N

A força F E F age sobre a junta, então, possui caráter compressivo.

Passo 6

Por fim, para a junta C :

Com o equilíbrio de forças tem-se:

∑ F x = 0 → F A C 3 34 - F C D = 0

F C D = 971,8 3 34 ∴ F C D = 5 00   k N

∑ F z = 0 → F C F - F A C 3 34 + 200 = 0

F C F = 971,8 3 34 - 200 ∴ F C F = 300   k N

Pode-se, ainda, realizar a análise de forças no eixo y para este membro. Fazendo isso:

∑ F y = 0 → F A C 4 34 - C y = 0

F A C = 666,7 34 4 ∴ F A C = 971,8   k N

Tal resultado confere com o valor anteriormente obtido.

Ambas as forças F C D e F C F agem sobre a junta e, portanto, possuem caráter compressivo.

Passo 7

Como dito antes, algumas forças que tinham influência na junta F não puderam ser determinadas pois dependiam de F C F , F D F e F E F . No entanto, duas dessas forças foram encontradas possibilitando determinar a outra restante.

Logo:

∑ F x = 0 → F D F 3 18 - F E F = 0

F D F = 300 18 3 ∴ F D F = 424,3   k N

A força F D F age sobre o membro e, por isso, possui caráter trativo.

Resposta

Junta A : F A C = 971,8   k N   T , F A D = 0 e F A E = 3 66,7   k N   C

Junta B : F B C = 0 , F B E = 500   k N   T e F A B = 300   k N   C

Junta C : F C D = 5 00   k N   ( C ) e F C F = 300   k N   C

Junta E : F D E = 0 e F E F = 300   k N   C

Junta F : F B F = 0 e F D F = 424,3   k N   T

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