Enunciado

O tubo em ângulo reto O A B do Prob. 2/108 é novamente mostrado aqui. Substitua a força trativa de 750 N que o cabo exerce no ponto B por um sistema força-binário no ponto O .

Passo 1

Vamos transportar a força T → feita no ponto B para o ponto O , e também o momento M → O feito pela força em torno dele. Primeiro calculamos o vetor de T → , e depois o momento por uma abordagem vetorial, utilizando a fórmula:

M → O = r → O B × T →

Sendo r → O B o vetor que aponta de O para B .

Passo 2

Primeiro vamos calcular o vetor da força. Fazemos isso multiplicando o módulo T = 750   N pelo vetor unitário n ^ B C que aponta de B para C , o vetor unitário é calculado da seguinte maneira:

n ^ B C = r → B C r → B C

Calculamos o vetor olhando para as distâncias entre B e C em cada direção:

r → B C = - 1,6 i ^ + 0,8 sen ⁡ 30 ° + 0,7 j ^ + 1,2 - 0,8 cos ⁡ 30 ° k ^

⇒ r → B C = - 1,6 i ^ + 1,1 j ^ + 0,507 k ^

Agora calculamos o módulo:

r → B C = 1,6 2 + 1,1 2 + 0,507 2 = 4,03

⇒ r → B C = 2,01

Com isso encontramos o vetor unitário n ^ B C e a expressão do vetor T → :

n ^ B C = r → B C r → B C = = - 1,6 i ^ + 1,1 j ^ + 0,507 k ^ 2,01 = - 0,797 i ^ + 0,548 j ^ + 0,252 k ^

T → = T n ^ B C = 750 ( = - 0,797 i ^ + 0,548 j ^ + 0,252 k ^ )

⇒ T → = - 598 i ^ + 411 j ^ + 189 k ^   N

Passo 3

Agora calcularemos o momento em torno de O . Primeiro precisamos do vetor r → O B :

r → O B = 1,6 i ^ - 0,8 sen ⁡ 30 ° j ^ + 0,8 cos ⁡ 30 ° k ^

⇒ r → O B = 1,6 i ^ - 0,4 j ^ + 0,693 k ^

Então fazemos o produto vetorial:

M → O = r → O B × T → = 1,6 i ^ - 0,4 j ^ + 0,693 k ^ × - 598 i ^ + 411 j ^ + 189 k ^

O produto vetorial é feito com uma determinante. Na primeira linha ficam os vetores unitários i ^ , j ^ e k ^ , no segundo ficam as componentes de r → O B e no terceiro as componentes de T → :

M → O = i ^ j ^ k ^ 1,6 - 0,4 0,693 - 598 411 189

Resolvemos a determinante multiplicando cruzado da seguinte maneira:

Os valores que estão representados em azul mantem o sinal, e os em vermelho devem ser multiplicados por -1. Então:

M → O = - 0,4 × 189 i ^ + 0,693 × - 598 j ^ + 1,6 × 411 k ^

- ( - 0,4 × - 598 k ^ - 0,693 × 411 i ^ - 1,6 × 189 j ^

= - 75,6 i ^ - 414 j ^ + 657 k ^ - 238 k ^ - 285 i ^ - 304 j ^

⇒ M ^ O = - 361 i ^ - 718 j ^ + 419 k ^

Resposta

T → = - 598 i ^ + 411 j ^ + 189 k ^   N

M ^ O = - 361 i ^ - 718 j ^ + 419 k ^ N ⋅ m

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