Enunciado

65. A estrutura na forma de um A está sendo suspensa para uma posição ereta pela força vertical F = 400   N . Determine o momento dessa força em relação ao eixo y quando a estrutura está na posição mostrada.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para achar as coordenadas do vetor r → temos que saber as coordenadas do ponto C em relação aos eixos x, y e z. As coordenadas de C são:

x = 1 ⋅ s e n   30 ° - 2 cos ⁡ 15 ° ⋅ cos ⁡ 30 ° = - 1,17

y = 1 cos ⁡ 30 ° + 2 cos ⁡ 15 ° ⋅ s e n   30 ° = 1,83

z = 2 s e n   15 ° = 0,51

Então o vetor r → é dado por:

r → = { - 1,17 i + 1,83 j + 0,51 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo y, é dado por:

u → = 0 i + 1 j + 0 k

Como a força é perpendicular como o enunciado diz, ela só tem a componente z diferente de zero.

Passo 2

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0 1 0 - 1,17 1,83 0,51 0 0 400

= 0 1,83 ⋅ 400 - 0,51 ⋅ 0 - 1 - 1,17 ⋅ 400 - 0,51 ⋅ 0 + 0 - 1,17 ⋅ 0 - 1,83 ⋅ 0

= 0 732 - 0 - 1 - 468 - 0 + 0 ( 0 + 0 )

= 0 732 - 1 - 468 + 0 ( 0 )

= 468   N ⋅ m

Resposta

O momento da força em relação ao eixo de rotação y é:

M y = 468   N ⋅ m

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