Enunciado

62. Determine a intensidade da força F → no cabo AB a fim de produzir um momento de 750   N ⋅ m em relação ao eixo da dobradiça, CD, necessário para manter o painel na posição mostrada.

Passo 1

O problema consiste em achar a força que produz um momento de 750   N ⋅ m .

Podemos calcular o momento com a análise vetorial e como temos o valor do momento desejado podemos deixar a força como uma incógnita na equação. Então vamos começar achando e que precisamos para realizar essa operação.

Usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 1,8 i + 0 j + 0 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo CD, é dado por:

u → = r A → r A →

Onde r A → é o vetor que sai do ponto C até o ponto D. Assim:

r A → = { 0 i + 2,4 j + 1,8 k }

r A → = 0 2 + 2,4 2 + 1,8 2

= 5,76 + 3,24

9 = 3

Logo:

u → = { 0 i + 2,4 j + 1,8 k } 3

= { 0 i + 0,8 j + 0,6 k }

Passo 2

Antes de começar a calcular o momento temos uma coisa a fazer, temos que expressar nossa força com um vetor cartesiano.

Para isso temos que achar um vetor unitário que tenha a mesma direção que a nossa força, achando isso basta multiplicar o valor da nossa força por ele e obtemos a força em forma vetorial. Então:

F → = F ⋅ v →

Onde v → é vetor unitário mencionado acima.

O vetor unitário que tem a mesma direção que a força, é dado por:

v → = r F → r F →

Onde r F → é o vetor que sai do ponto A até o ponto B. Assim:

r F → = { - 1,8 i + 1,2 j + 3,6 k }

r F → = - 1,8 2 + 1,2 2 + 3,6 2

= 3,24 + 1,44 + 12,96

17,64 = 4,2

Logo:

v → = { - 1,8 i + 1,2 j + 3,6 k } 4,2

= { - 0,43 i + 0,28 j + 0,8 5 k }

Assim:

F → = F ⋅ v →

= F ⋅ { - 0,43 i + 0,28 j + 0,8 5 k }

= { - F ⋅ 0,4 2 i + F ⋅ 0,28 j + F ⋅ 0 , 8 5 k }

Passo 3

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

⇒ 750 = 0 0,8 0,6 1,8 0 0 - F ⋅ 0,4 2 F ⋅ 0,28 F ⋅ 0 , 8 5

⇒ 750 = 0 ⋅ F 0 - 0 - 0,8 ⋅ F 1,8 ⋅ 0,8 5 - - 0,4 2 ⋅ 0 + 0,6 ⋅ F 1,8 ⋅ 0,28 - - 0,4 2 ⋅ 0

⇒ 750 = 0 ⋅ 0 - 0 - 0,8 ⋅ F 1 , 5 3 + 0 + 0,6 ⋅ F 0,504 + 0

⇒ 750 = 0 - 1,2 24 F + 0,3 024 F

⇒ 750 = - 0 , 9216 F

⇒ F = - 750 0,94 = - 813,8   N

Resposta

O módulo da intensidade da força é:

F = 813,8

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