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Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais - Capítulo 2.Problemas - Ex. 41

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desse livro

Um tubo de latão de 300   m m de comprimento, com 30   m m de diâmetro externo e 3   m m de espessura, é fixado em um torno mecânico manual, que está ajustado de tal modo que os mordentes encostem nas suas extremidades, sem que exerça qualquer pressão nessas. Duas forças P e Q , de intensidade P = 190   k N e Q = 160   k N , são então aplicadas ao tubo, como indicado. Após as forças serem aplicadas o torno é ajustado com um amento da distância entre os mordentes de 0,25   m m . Sabendo-se que E = 105   G P a , determinar: (a) as forças exercidas pelo torno sobre o tubo em A e D ; (b) a elongação da parte B C do tubo.

Passo 1

Estamos diante de um problema estaticamente indeterminado, logo a solução através apenas das forças é impossível, por isso que vamos ter de utilizar as equações de deslocamento também.

Então o nosso objetivo aqui é utilizar o somatório das forças na horizontal e o deslocamento da barra para acharmos, tanto as forças de reação quanto as deflexões, neste caso a deflexão total será igual a 2,5   m m .

∑ F x = 0

δ = ∑ P i ⋅ L i A i ⋅ E i = 2,5   m m

Perceba que, por causa do ajuste, o δ agora vale 2,5   m m , que é exatamente a “frouxidão” deixada pelo ajuste.

Passo 2

Fazer o diagrama de corpo livre do tubo, de modo a achar uma equação com as forças de reação:

Onde R A e R B são as reações de apoio que o tubo sofre. lembrando que estes sentidos sempre serão arbitrários, caso estejam corretos, ao final do exercício iremos achar valores positivos, caso estejam errados acharemos valores negativos.

Como a barra está estática podemos afirmar que:

∑ F x = 0

Lembrando que é sempre importante decidir um sentido positivo e carrega-lo até o fim do exercício! Aqui vamos escolher o sentido que aponta para a direita como positivo.

R A - 190 + 160 - R D = 0

R A - R D = 190 - 160

R A - R D = 30

Passo 3

Como vimos o problema está estaticamente indeterminado e precisamos achar uma outra equação para podermos achar as reações R A e R E . Essa outra equação é a da deflexão.

δ   = ∑ P i ⋅ L i A i ⋅ E i = 2,5   m m

Para o nosso caso temos 3 partes, ou 3 deltas ( δ ), então nossa equação fica da forma:

δ = δ A B + δ B C + δ C D = 2,5   m m

P A B ⋅ L A B A A B ⋅ E A B + P B C ⋅ L B C A B C ⋅ E B C + P C D ⋅ L C D A C D ⋅ E C D = 2,5   m m

Nós temos quase todos os dados, temos o tamanho inicial L , a área A e o coeficiente de elasticidade E . Porém, não temos as forças P . Para achar essas forças temos que cortar cada pedaço (AB, BC e CD) e ver quais forças estão aplicadas apenas nesse pedacinho cortado, como mostrado no próximo passo.

Passo 4

  • Para o segmento AB:
  • Então a força P aplicada no segmento AB é igual a R A negativo.

    P A B = - R A

  • Para o segmento BC:
  • Repare que aqui, para que a força P mantenha o corpo em equilíbrio ela deve ser igual a - R A + 190

    P B C = - R A + 190

  • Para o segmento CD

Aqui P deve ser igual a - R A + 190 - 160

P C D = - R A + 190 - 160

P C D = - R A + 30

Aqui vale uma observação!

Neste caso fomos seccionando a barra da esquerda para a direita e repare que R D não apareceu, poderíamos fazer da direita para a esquerda também. Ainda mais, poderíamos pegar apenas a última parte da direita para a esquerda e o resto da esquerda para a direita.

Ou seja, o método de seccionar a barra não importa, o que importa é manter sempre os mesmos sentidos.

Passo 5

Agora vamos voltar para nossa equação do deslocamento e aplicar os valores, já que conhecemos todos agora (pelo menos em função de R A né!? Que é o que queremos)

P A B ⋅ L A B A A B ⋅ E A B + P B C ⋅ L B C A B C ⋅ E B C + P C D ⋅ L C D A C D ⋅ E C D = 2,5   m m

Lembrando que a área neste caso será calculada como um círculo menos o outro, um com 30   m m de diâmetro e o outro com 30 - 3 m m , os comprimentos são todos iguais a 100   m m e o coeficiente de elasticidade é igual a 105   G P a .

A = π ⋅ ( 30 2 - 27 2 ) 4

A = π ⋅ ( 900 - 729 ) 4

A = π ⋅ 171 4

A = 134,30   m m ²

- R A ⋅ 100 134,30 ⋅ 105 + ( - R A + 190 ) ⋅ 100 134,30 ⋅ 105 + ( - R A + 30 ) ⋅ 100 134,30 ⋅ 105 = 2,5  

- R A ⋅ 70,91 ⋅ 10 - 3 + - R A + 190 ⋅ 70,91 ⋅ 10 - 3 + - R A + 30 ⋅ 70,91 ⋅ 10 - 3 = 2,5

Dividindo ambos os lados da equação por 70,91 ⋅ 10 - 3

- R A + - R A + 190 + - R A + 30 = 2,5 70,91 ⋅ 10 - 3

- 3 R A + 220 = 352,5375

- 3 R A = 352,5375 - 220

- 3 R A = 132,5375

R A = - 132,5375 3

R A = - 44,18   k N

Perceba que o valor deu negativo logo a força aponta, na verdade, para a esquerda!

Passo 6

Agora substituímos na equação lá do passo 2:

R A - R D = 30

- 44,18 - R D = 30

R D = - 44,18 - 30

R D = - 74,18   k N

Aqui a força também deu negativa logo, na realidade, é oposta ao que imaginamos inicialmente

E voilà a letra A morreu

R A = 44,18   k N

R D = 74,18   k N

Onde R A aponta para a esquerda e R D para a direita!

Passo 7

Agora para responder a letra b basta aplicar a equação do deslocamento novamente, da seguinte forma.

δ B C = P B C ⋅ L B C A B C ⋅ E B C

A = 134,30   m m ²

δ B C = ( - R A + 190 ) ⋅ 100 134,30 ⋅ 105

δ B C = ( 44,18 + 190 ) ⋅ 100 134,30 ⋅ 105

Perceba que, como fizemos todo os desenvolvimento assumindo um sentido, devemos continuar utilizando este mesmo sentido! Por isso o 44,18 acaba ficando positivo.

Obs: Só na hora da resposta que fica mais ELEGANTE kkk utilizar o módulo e, possivelmente indicar o sentido, se necessário.

δ B C = 234,18 ⋅ 100 134,30 ⋅ 105

δ B C = 1,66   m m

É legal perceber que quando utilizamos a força em k N , o comprimento em m m , a área em m m ² e o módulo de elasticidade em G P a , o nosso resultado aparece em m m .

Resposta

a)

R A = 44,18   k N

R D = 74,18   k N

b)

δ B C = 1,66   m m

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