Enunciado

O tubo com peso W deve ser puxado para cima no plano indicado com inclinação α usando uma força P . Se P age em um ângulo ϕ , mostre que, para deslizar, P = W sen ⁡ α + θ / cos ⁡ ϕ - θ , onde θ é o ângulo de atrito estático; θ = tg - 1 ⁡ μ s .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos mostrar que a relação para a força P que faz com que o corpo deslize é P = W sen ⁡ α + θ / cos ⁡ ϕ - θ . Esta força será dada quando a barra está na iminência do movimento. Isto é, quando a força P equilibra a força de atrito.

Portanto, a chave para esta questão é o diagrama de corpo livre do nosso corpo. Então, vejamos ele abaixo:

OBS: Não se esqueçam da força peso para baixo!

Agora que já sabemos o que fazer, vamos aos cálculos!

Passo 2

Agora vamos utilizar as equações de equilíbrio. Vamos avaliar o somatório de forças em ambas as direções horizontais e verticais (de acordo com o plano inclinado, como mostramos no diagrama de corpo livre feito no Passo 1).

Então, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ P cos ⁡ ϕ - W sen ⁡ α - μ s N = 0 N + P sen ⁡ ϕ - W cos ⁡ α = 0

Da segunda equação nós obtemos que N = W cos ⁡ α - P sen ⁡ ϕ . Já do enunciado da questão nós temos que θ = tan - 1 ⁡ μ s . Logo, temos μ s = tan ⁡ θ .

Então, se a gente faz essas substituições na equação do ∑ F x = 0 , temos:

P cos ⁡ ϕ - W sen ⁡ α - μ s N = 0

P cos ⁡ ϕ - W sen ⁡ α - tan ⁡ θ W cos ⁡ α - P sen ⁡ ϕ = 0

P cos ⁡ ϕ - W sen ⁡ α - W tan ⁡ θ cos ⁡ α + P tan ⁡ θ sen ⁡ ϕ = 0

P cos ⁡ ϕ + tan ⁡ θ sen ⁡ ϕ = W sen ⁡ α + tan ⁡ θ cos ⁡ α

P = W sen ⁡ α + tan ⁡ θ cos ⁡ α cos ⁡ ϕ + tan ⁡ θ sen ⁡ ϕ

Passo 3

Para finalizarmos a questão, temos que dar o pulo do gato.

Vamos reescrever tan ⁡ θ como sen ⁡ θ / cos ⁡ θ e reorganizar a nossa função. Vejamos só:

P = W sen ⁡ α + sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ α cos ⁡ ϕ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

P = W sen ⁡ α cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ α cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

P = W sen ⁡ α cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ α cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

Agora é só utilizarmos as relações trigonométricas de soma de arcos. Portanto,

P = W sen ⁡ α + θ cos ⁡ ϕ - θ

E assim finalizamos a questão!

Resposta

P = W sen ⁡ α + θ cos ⁡ ϕ - θ

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