Enunciado

Um tubo de vapor com 1,8   m de comprimento é feito de aço com σ e = 280   MPa e está ligado diretamente a duas turbinas A e B , como mostra a figura. O diâmetro externo do tubo é 100   mm e a espessura da parede é 6   mm . A ligação foi feita a T 1 = 20   ° C . Considerando que os pontos de acoplamento das turbinas são rígidos, determine a força que o tubo exerce sobre elas quando o vapor e, portanto, o tubo, atingem uma temperatura de T 2 = 135   ° C .

Passo 1

Um tubo mantido entre duas turbinas é aquecido.

Características do tubo:

  • Aço: E = 200   GPa , α = 12 10 - 6   ° C - 1 . (tabelado)
  • Diâmetro externo: d e = 100   mm . Espessura: 6   mm .
  • Comprimento inicial: L = 1,8   m .
  • Temperatura inicial: T 1 = 20   ° C . Temperatura final: T 2 = 135   ° C .

A variação de temperatura no tubo, Δ T = T 2 - T 1 = 115   ° C , irá causar uma expansão térmica. As turbinas vão resistir esse avanço (são rígidas!), comprimindo o tubo com uma força F .

Queremos descobrir essa força F !

Passo 2

Dois efeitos ocorrem no tubo:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão do tubo: δ T .
  • A reação das turbinas vai comprimir o tubo, reduzindo: δ F .

Como as turbinas não podem se mover, o resultado final da expansão e compressão do tubo tem que ser zero!

δ T - δ F = 0

Temos fórmulas pra esses termos!

Expansão térmica:

δ T = α   Δ T   L

Relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

Então nossa condição de compatibilidade fica:

α   Δ T   L = F   L A   E

Opa, queremos esse F aí! Vamos isolar ele:

F = A   E   α   Δ T

Passo 3

Agora é só substituir os valores e acabou!

Vamos precisar da área do tubo. Ele é um cilindro vazado. O diâmetro externo é d e = 100   mm . O diâmetro interno vai ser o externo menos duas vezes a espessura e = 6   mm ! Então d i = 88   mm .

Área do tubo:   A = π ( d e 2 - d i 2 ) / 4 = 1771,858   mm 2

F = 1771,858     mm 2 ⋅ 200   GPa ⋅ 12 ⋅ 10 - 6   ° C - 1 ⋅ 115   ° C

F = 489,03   kN

O que a questão pediu acaba aqui! Porém, é bom conferir mais uma coisa.

Passo 4

A questão nos deu o valor da tensão de escoamento: σ e = 280   MPa . Tudo isso que fizemos foi assumindo que a expansão térmica ocorre no regime elástico do material! Vamos ver se essa hipótese é verdade.

Tensão axial provocada pela compressão no tubo:

σ = F A = 489,03   kN 1771,858   mm 2 = 276   MPa

Show, σ < σ e . Então está tudo certo!

Resposta

Força no tubo: F = 489,03   kN .

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