Enunciado

A unidade rígida formada pelo eixo vertical, braço e motor tem uma massa de 30   k g , com seu centro de massa em G localizado a 300   m m da linha mediatriz vertical do eixo. O eixo é soldado à base fixa em A . O motor, que controla uma máquina por meio de um eixo flexível, gira no sentido indicado e gera um torque de 200   N m . Além disso, uma força de 200   N é aplicada ao braço, como mostrado. Determine as expressões vetoriais para a força total R → e para o momento M → aplicados ao eixo, em A , pela base de sustentação. (Cuidado: Tome cuidado para atribuir o sentido correto ao torque (momento) que atua no eixo do motor, consistente com a terceira lei de Newton.)

Passo 1

Nosso objetivo é que toda a unidade fique em equilíbrio, isso quer dizer que o momento e a força resultante têm que ser nulos.

Vamos começar analisando o equilíbrio dos momentos em relação ao ponto A . Inicialmente temos apenas três forças produzindo momento.

Primeiro, a força peso agindo a uma distância perpendicular de 300   m m do ponto A . Ela favorece a rotação no sentido horário em torno do eixo y :

M → P = - m g 300 j ^ = - 0,300 30 9,81 j ^ = - 88,29 j ^

Segundo, o momento de 200   N m , que favorece a rotação em torno do eixo y no sentido anti-horário:

M → M = 200   j ^

E terceiro, a força de 200   N , que favorece a rotação em torno dos eixos y e z ao mesmo tempo, sempre no sentido horário:

M → F = - 200 0,250 j ^ - 200 0,075 k ^ = - 50   j ^ - 15   k ^

Agora vamos somar tudo isso:

M → A = - 88,29   j ^ + 200   j ^ - 50   j ^ - 15   k ^

M → A = - 88,29   j ^ + 150   j ^ - 15   k ^

Esse é o momento em relação ao ponto A sem considerar as forças exercidas pela base.

Passo 2

Beleza, agora vamos encontrar o momento M → fornecido pela base apenas considerando que eles precisam anular M → A .

M → = M y   j ^ + M z   k ^

Por que não temos uma componente em i ^ ? Porque a base teoricamente só permite a rotação em torno do eixo z , e a componente em y só aparece como reação ao momento de 200   N m aplicado pelo motor.

M → A + M → = 0

- 88,29 + 150 + M y j ^ + - 15 + M z k ^ = 0

E então:

M y = - 62   N m

M z = 15   N m

M → = - 62   j ^ + 15   k ^   N m

Passo 3

Agora vamos considerar o equilíbrio das forças. Inicialmente só temos duas forças agindo, o peso e a força de 200   N :

∑ F → = 0

∑ F → = - 200   i ^ - m g   k ^

∑ F → = - 200   i ^ - 294,3   k ^

E a força exercida pela base precisam equilibrar esse somatório:

- 200   i ^ - 294,3   k ^ + R → = 0

R → = 200   i ^ + 294,3   k ^   N

Resposta

A força total deve ser R → = 200   i ^ + 294,3   k ^   N e o momento deve ser M → = - 62   j ^ + 15   k ^   N m .

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