Enunciado

O sistema do Prob. 3/107 é mostrado novamente aqui. Só que agora, o sólido homogêneo de 125 kg está mostrado girado por um ângulo θ em torno do eixo A B da dobradiça. Determine e plote as seguintes quantidades como funções de θ , na faixa 0 ≤ θ ≤ 60 ° : T , A y , A z , B x , B y e B z . A dobradiça em A não pode exercer esforço axial. Assuma que todas as componentes das forças na dobradiça estão nas direções coordenadas positivas.

Passo 1

Vamos representar as forças atuantes no sólido em um diagrama de corpo livre. A força em A não tem componente x , como especificou o enunciado:

Passo 2

Temos 6 incógnitas, então precisamos de 6 equações de equilíbrio: Soma das forças em cada uma das 3 direções e soma dos momentos em torno de cada um dos eixos. Primeiro vamos determinar a expressão de T → em termo de seu módulo. Temos:

T → = T n ^ C D

Onde n ^ C D = r → C D / | r → C D | é o vetor unitário que determina a direção de T . Vamos calcular n ^ C D . Olhando o perpendicularmente a x , vemos C D assim:

Se considerarmos a origem em A , as coordenadas de C e D são:

C ( 0 ,   0.3 cos ⁡ θ , 0.3 sen ⁡ θ )

D ( 0.125 ,   0 ,   0.4 )

Então:

r → C D = r → D - r → C = 0,125 i ^ - 0,3 cos ⁡ θ j ^ + 0,4 - 0,3 sen ⁡ θ k ^

Vamos agora calcular o módulo:

r → C D = 0,125 2 + 0,3 cos ⁡ θ 2 + 0,4 - 0,3 sen ⁡ θ 2

= 0,015625 + 0,09 cos 2 ⁡ θ + 0,16 - 0,24 sen ⁡ θ + 0,09 sen 2 ⁡ θ

= 0,265625 - 0,24 sen ⁡ θ

Então:

n ^ C D = r → C D r → C D = 0,125 i ^ - 0,3 cos ⁡ θ j ^ + 0,4 - 0,3 sen ⁡ θ k ^ 0,265625 - 0,24 sen ⁡ θ

⇒ T → = T 0,125 i ^ - 0,3 cos ⁡ θ j ^ + 0,4 - 0,3 sen ⁡ θ k ^ 0,265625 - 0,24 sen ⁡ θ

Passo 3

Agora já sabemos as componentes de T → em função do módulo, vamos às equações. O peso é igual a 125 × 9,81 = 1226,25   N . Vamos começar pelas forças:

∑ F x = 0 ⇒ 0,125 T 0,265625 - 0,24 sen ⁡ θ + B x = 0

∑ F y = 0 ⇒ - 0,3 cos ⁡ θ T 0,265625 - 0,24 sen ⁡ θ + A y + B y - 1226,25 = 0

∑ F z = 0,4 - 0,3 sen ⁡ θ T 0,265625 - 0,24 sen ⁡ θ + A z + B z = 0

Agora os momentos em torno dos eixos. Vamos considerar a origem em D , pois T → passa nesse ponto e não participa das contas. As coordenadas de o centro de massa em relação a D são:

G x = 0,5 2 - 0,125 = 0,125

G y = 0,2 sen ⁡ θ + 0,15 cos ⁡ θ

G z = 0,4 + 0,2 cos ⁡ θ - 0,15 sen ⁡ θ

Vamos então às 3 equações:

∑ M x = 0 ⇒ 0,4 A y + 0,4 B y - ( 0,4 + 0,2 cos ⁡ θ - 0,15 sen ⁡ θ ) 1226,25 = 0

∑ M y = 0 ⇒ 0,125 A z - 0,375 B z - 0,4 B x = 0

∑ M z = 0 ⇒ - 0,125 A y - 0,125 × 1226,25 + 0,375 B y = 0

Passo 4

Através do auxílio de um computador, resolvemos as equações e chegamos às soluções:

T = 12,77 - 4 cos ⁡ θ + 3 sen ⁡ θ 425 - 384 sen ⁡ θ cos ⁡ θ    

A y = 613 + 460 cos ⁡ θ - 345 sen ⁡ θ

A z = - 12,77 64 cos ⁡ θ - 48 sen ⁡ θ - 36 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 27 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

B x = 63,9 - 4 cos ⁡ θ + 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

B y = 613 + 153,3 cos ⁡ θ - 115 sen ⁡ θ

B z = - 38,3 - 4 cos ⁡ θ + 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Passo 5

Representamos as forças em um gráfico:

Resposta

T = 12,77 - 4 cos ⁡ θ + 3 sen ⁡ θ 425 - 384 sen ⁡ θ cos ⁡ θ    

A y = 613 + 460 cos ⁡ θ - 345 sen ⁡ θ

A z = - 12,77 64 cos ⁡ θ - 48 sen ⁡ θ - 36 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 27 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

B x = 63,9 - 4 cos ⁡ θ + 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

B y = 613 + 153,3 cos ⁡ θ - 115 sen ⁡ θ

B z = - 38,3 - 4 cos ⁡ θ + 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A estrutura de quatro membros na gome de um ' A ' é sustentada em A e E por colares lisos e, em G , por um pino. Todos os outros nós são juntas esféricas. Se o pino em G falhará quando a porça resulta
A estrutura de três membros é conectada em suas extremidades por meio de juntas esféricas. Determine as componentes x , y , z da reação em B e a tração no membro E D . A força agindo em D é F = 135 i
A estrutura de três membros é conectada em suas extremidades por meio de juntas esféricas. Determine as componentes x , y , z da reação em B ea tração no membro E D . A força agindo em D é F = 135 i ^
Uma força F = 500N mantém a caixa de 200k g em equilíbrio. Determine as coordenadas ( 0 ,y ,z ) do ponto A se a tração nos cabos A C e A B é de 3500N em cada um.
Se a tração máxima permitida nos cabos A B e A C é 2500N , determine a altura máxima z à qual a caixa de 100k g pode ser elevada. Qual força horizontal F deve ser aplicada? Considere y = 2,4m .