Enunciado

Uma viga A B é um sólido de revolução de diâmetro variável d . Para a porção A C da viga, expressar d , em termos de d 0 ,   x e L , sabendo-se que a viga deve ser de igual resistência quando suporta o carregamento mostrado.

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Para resolver esse problema a gente vai ter que achar uma o nosso diâmetro d como uma função de x . Para isso a gente vai ter que utilizar principalmente aquela nossa equação da tensão admissível.

σ a d m = M W

Então a gente tem que basicamente achar o momento fletor dessa viga e o módulo de resistência dela.

vamos fazer isso para duas situações, um ponto qualquer x e um ponto específico x = L 2 daí é só comparar os dois resultados, então partiu?

Passo 2

Primeiro vamos observar a seção desta viga, como é um sólido de revolução então a seção é um círculo:

Então vamos calcular o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Como temos um círculo o momento de inércia é dado por:

I = π d 4 64

e, como a linha neutra se localiza no centro do círculo, a distância c é igual a:

c = d 2

Substituindo no módulo resistente:

W = π d 4 64 d 2

W = π d 3 32

Show de bola!

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Para isso que tal fazermos um desenho simplificado dessa viga?

Já podemos perceber que a força B x é nula porque é a única força em x . Agora vamos partir para o omatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - w × L + B y = 0

A y + B y = w L

Como a viga possui um carregamento simétrico então os termos A y e B y serão iguais:

A y = B y = w L 2   k N

Além disso, o momento fletor é dado por:

Primeiro calculamos a forç cortante:

V x = w L 2 - w x

Para poder substituir no momento de inércia:

M x = w x x 2 + V x x  

M x = w x L 2 - w x 2 2

M x = w x 2 ( L - x )

Passo 4

Estamos quase no fim! UHULLLLL

Agora chegamos no ponto mais importante desta questão que é aplicar o momento fletor M em conjunto com o nosso módulo resistente W e comparar com a tensão admissível σ a d m da seguinte forma:

σ a d m = M W

Lembrando que:

W = π d 3 32

e

M = w x 2 ( L - x )

obs: Precisamos apenas do módulo =D

Vamos substituir os valores que calculamos:

σ a d m = w x 2 ( L - x ) π d 3 32

Simplificando:

σ a d m = 16 w x L - x π d 3

Essa valor que achamos é para qualquer ponto x da nossa viga, logo, deve valer também para x = L , porque L ? Porque é onde o momento fletor máximo se localiza! Assim, ficará da seguinte forma:

W = π d 0 3 32

M x = L 2 = w L 2 2 ( L - L 2 )

M x = L 2 = w L 4 × L 2

M x = L 2 = w L 2 8

Substituindo em..

σ a d m = M W

Vamos obter:

σ a d m = w L 2 8 π d 0 3 32

Simplificando:

σ a d m = 4 w L 2 π d 0 3

Passo 5

Viram que temos duas equações com σ a d m ? Então agora é só igualar as duas:

σ a d m = 16 w x L - x π d 3

E

σ a d m = 4 w L 2 π d 0 3

Igualando:

16 w x L - x π d 3 = 4 w L 2 π d 0 3

Simplificando:

4 x L - x d 3 = L 2 d 0 3

d 3 = 4 x L - x L 2 × d 0 3

d = d 0 × 4 x L - x L 2 3

Saindo com 4 da raiz:

d = 1,587 d 0 × x L - x L 2 3

d = 1,587 d 0 × x L - x L 2 3

Resposta

d = 1,587 d 0 × x L - x L 2 3

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