Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto D e com isso encontrar a reação no ponto B. Então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

50 1,2 - R B 0,9 + 125 0 , 5 - 50 0,2 = 0

0,9 R B = 112,5 → R B = 125   k N

Agora, para descobrir a reação em D, podemos aplicar o somatório de forças na direção y , onde teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

- 50 + 125 - 125 + R D - 50 = 0 → R D = 100   k N

Agora podemos escrever a equação para a força cortante, já que temos todas as forças aplicadas e os pontos onde são aplicadas. Sendo assim, considerando a origem no ponto A, com x = 0 , a equação para a força cortante será:

V = - 5 0 + 125 < x - 0 , 3 > 0 - 125 < x - 0,7 > 0 + 100 < x - 1,2 > 0

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - 50 + 125 < x - 0,3 > 0 - 125 < x - 0,7 > 0 + 100 < x - 1,2 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - 50 x + 125 < x - 0,3 > 1 - 125 < x - 0,7 > 1 + 100 < x - 1,2 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso, como não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - 50 x + 125 < x - 0,3 > 1 - 125 < x - 0,7 > 1 + 100 < x - 1,2 > 1

Passo 3

Agora para a letra (b), para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Como só temos forças localizadas aplicadas ao sistema, sabemos que o momento máximo estará localizado sob um dos pontos de aplicação das forças. Então vamos calcular o momento nos 5 pontos da viga. Começando por A em x = 0 teremos:

M = - 50 ( 0 ) + 125 < 0 - 0,3 > 1 - 125 < 0 - 0,7 > 1 + 100 < 0 - 1,2 > 1

M = 0 + 125 0 - 125 0 + 100 0 → M = 0   k N

Agora para o ponto B em x = 0,3   m , teremos:

M = - 50 ( 0 , 3 ) + 125 < 0 , 3 - 0,3 > 1 - 125 < 0 , 3 - 0,7 > 1 + 100 < 0 , 3 - 1,2 > 1

M = - 15 + 125 0 - 125 0 + 100 0 → M = - 15   k N

Agora para o ponto C em x = 0,7   m , teremos:

M = - 50 ( 0 , 7 ) + 125 < 0 , 7 - 0,3 > 1 - 125 < 0 , 7 - 0,7 > 1 + 100 < 0 , 7 - 1,2 > 1

M = - 35 + 125 0 , 4 - 125 0 + 100 0 → M = 15     k N

Agora para o ponto D em x = 1,2   m , teremos:

M = - 50 ( 1,2 ) + 125 < 1,2 - 0,3 > 1 - 125 < 1,2 - 0,7 > 1 + 100 < 1,2 - 1,2 > 1

M = - 60 + 125 0 , 9 - 125 0 , 5 + 100 0 → M = - 10     k N

Agora para o ponto E em x = 1,4   m , teremos:

M = - 50 ( 1,4 ) + 125 < 1 , 4 - 0,3 > 1 - 125 < 1,4 - 0,7 > 1 + 100 < 1,4 - 1,2 > 1

M = - 70 + 125 1,1 - 125 0 , 7 + 100 0 , 2 → M = 0     k N

Então o momento máximo ocorre nos pontos B e C, em x = 0,3   m ou x = 0,7   m e será:

M m a x = 15   k N

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga I 1150 X 18, então vamos ter que recorrer ao apêndice C para pegar suas propriedades. Precisamos do momento de inércia e da altura da viga, já que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. No apêndice C temos o modelo 1150 x 18,6, vamos pegar os valores referentes a essa viga, então teremos:

I = 9,16 . 10 6   m m 4

h = 152   m m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = 15000 0,152 2 9,16 . 10 6 . 10 - 12 → σ m a x = 124,45   M P a

Resposta

a :   V = - 50 + 125 < x - 0,3 > 0 - 125 < x - 0,7 > 0 + 100 < x - 1,2 > 0

a :   M = - 50 x + 125 < x - 0,3 > 1 - 125 < x - 0,7 > 1 + 100 < x - 1,2 > 1

b :   σ m a x = 124,45   M P a

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