Enunciado

(a) Usando funções de singularidade, escreva as equações para a força cortante e o momento fletor para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto E e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M E = 0

- R A 3 + 24 2,25 + 24 1,5 + 24 0,75 - 24 ( 0,75 ) = 0

3 R A = 90 → R A = 30   k N

Agora, para descobrir a reação em E, podemos aplicar o somatório de forças na direção y , onde teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

30 - 24 - 24 - 24 + R E - 24 = 0 → R E = 66   k N

Agora podemos escrever a equação para a força cortante, já que temos todas as forças aplicadas e os pontos onde são aplicadas. Sendo assim, considerando a origem no ponto A, com x = 0 , a equação para a força cortante será:

V = 30 - 24 < x - 0,75 > 0 - 24 < x - 1,5 > 0 - 24 < x - 2,25 > 0 + 66 < x - 3 > 0 - 24 < x - 3,75 > 0

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 30 - 24 < x - 0,75 > 0 - 24 < x - 1,5 > 0 - 24 < x - 2,25 > 0 + 66 < x - 3 > 0 - 24 < x - 3,75 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 30 x - 24 < x - 0,75 > 1 - 24 < x - 1,5 > 1 - 24 < x - 2,25 > 1 + 66 < x - 3 > 1 - 24 < x - 3,75 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso, como não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = 30 x - 24 < x - 0,75 > 1 - 24 < x - 1,5 > 1 - 24 < x - 2,25 > 1 + 66 < x - 3 > 1 - 24 < x - 3,75 > 1

Passo 3

Agora para a letra (b), para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Como só temos forças localizadas aplicadas ao sistema, sabemos que o momento máximo estará localizado sob um dos pontos de aplicação das forças. Então vamos calcular o momento nos 6 pontos da viga. Começando por A em x = 0 teremos:

M = 30 ( 0 ) - 24 < 0 - 0,75 > 1 - 24 < 0 - 1,5 > 1 - 24 < 0 - 2,25 > 1 + 66 < 0 - 3 > 1 - 24 < 0 - 3,75 > 1

M = 0 - 24 0 - 24 0 - 24 0 + 66 0 - 24 0 → M = 0   k N

Agora para o ponto B em x = 0,75   m , teremos:

M = 30 ( 0,75 ) - 24 < 0,75 - 0,75 > 1 - 24 < 0,75 - 1,5 > 1 - 24 < 0,75 - 2,25 > 1 + 66 < 0,75 - 3 > 1 - 24 < 0,75 - 3,75 > 1

M = 22,5 - 24 0 - 24 0 - 24 0 + 66 0 - 24 0 → M = 22,5   k N

Agora para o ponto C em x = 1,5   m , teremos:

M = 30 ( 1,5 ) - 24 < 1,5 - 0,75 > 1 - 24 < 1,5 - 1,5 > 1 - 24 < 1,5 - 2,25 > 1 + 66 < 1,5 - 3 > 1 - 24 < 1,5 - 3,75 > 1

M = 45 - 24 0,75 - 24 0 - 24 0 + 66 0 - 24 0 → M = 27   k N

Agora para o ponto D em x = 2,25   m , teremos:

M = 30 ( 2,25 ) - 24 < 2,25 - 0,75 > 1 - 24 < 2,25 - 1,5 > 1 - 24 < 2,25 - 2,25 > 1 + 66 < 2,25 - 3 > 1 - 24 < 2,25 - 3,75 > 1

M = 67,5 - 24 1,5 - 24 0,75 - 24 0 + 66 0 - 24 0 → M = 13,5   k N

Agora para o ponto E em x = 3   m , teremos:

M = 30 ( 3 ) - 24 < 3 - 0,75 > 1 - 24 < 3 - 1,5 > 1 - 24 < 3 - 2,25 > 1 + 66 < 3 - 3 > 1 - 24 < 3 - 3,75 > 1

M = 90 - 24 2,25 - 24 1,5 - 24 0,75 + 66 0 - 24 0 → M = - 18   k N

E, por fim para o ponto E em x = 3,75   m , teremos:

M = 30 ( 3,75 ) - 24 < 3,75 - 0,75 > 1 - 24 < 3,75 - 1,5 > 1 - 24 < 3,75 - 2,25 > 1 + 66 < 3,75 - 3 > 1 - 24 < 3,75 - 3,75 > 1

M = 112,5 - 24 3 - 24 2,25 - 24 1,5 + 66 0,75 - 24 0 → M = 0   k N

Então o momento máximo ocorre no ponto C, em x = 1,5   m e será:

M m a x = 27   k N

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga W250 X 28,4, então vamos ter que recorrer ao apêndice C para pegar suas propriedades. Precisamos do momento de inércia e da altura da viga, já que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então, do apêndice C, temos:

I = 40,1.10 6   m m 4

h = 259   m m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = 27000 0,259 2 40,1.10 6 . 10 - 12 → σ m a x = 87,2   M P a

Resposta

a :   V = 30 - 24 < x - 0,75 > 0 - 24 < x - 1,5 > 0 - 24 < x - 2,25 > 0 + 66 < x - 3 > 0 - 24 < x - 3,75 > 0

a : M = 30 x - 24 < x - 0,75 > 1 - 24 < x - 1,5 > 1 - 24 < x - 2,25 > 1 + 66 < x - 3 > 1 - 24 < x - 3,75 > 1

b :   σ m a x = 87,2   M P a

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Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e carregamento mostrados e, determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga sabendo que o tipo da madeira utilizada tem uma tensão normal admissível de 1750p s i .
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga sabendo que o tipo da madeira utilizada tem uma tensão normal admissível de 1750p s i .
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga sabendo que o tipo da madeira utilizada tem uma tensão normal admissível de 12M P a .
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, projete a seção transversal da viga sabendo que o tipo da madeira utilizada tem uma tensão normal admissível de 12M P a .