Enunciado

A viga AB consiste em uma placa de ferro fundido de espessura uniforme b e comprimento L e deve suportar a força w(x) mostrada. (a) Sabendo que a viga deve ser de resistência constante, expresse h em termos de x, L e h 0 . (b) Determine o menor valor de h 0 se L = 750 mm, b = 30 mm, w 0 = 300 kN/m e σ a d m = 200 MPa.

Passo 1

Tá legal! Nesse exercício, não precisamos encontrar nenhuma reação de apoio para o sistema. Aqui nós vamos utilizar as equações de singularidade para encontrar o carregamento, a força cortante e o momento fletor. Então, através do carregamento do enunciado, podemos escrever o carregamento em função da distância x da seguinte forma:

w = w 0 x L

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ w 0 x L d x

V = - w 0 x 2 2 L + C

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, não temos nenhuma força localizada, então nossa constante será:

C = 0

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = - w 0 x 2 2 L

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - w 0 x 2 2 L d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - w 0 x 3 6 L + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - w 0 x 3 6 L

Passo 3

Agora, vamos utilizar a equação 5.18 vista nessa seção para escrever o módulo de resistência da viga, que será dado por:

W = M σ a d m

Substituindo a expressão para o momento encontrada no passo 1, teremos:

W = w 0 x 3 6 L σ a d m → W = w 0 x 3 6 L σ a d m

Agora, lembrando que o módulo de resistência W para uma seção transversal retangular é dado por:

W = b h 2 6

Podemos igualar as duas expressões encontradas para W , fazendo isso, teremos:

b h 2 6 = w 0 x 3 6 L σ a d m

Agora, isolando h dessa equação, chegaremos em:

h 2 = w 0 x 3 b L σ a d m → h = w 0 x 3 b L σ a d m

Passo 4

Ainda estamos na letra (a), vamos lá! Para escrever h em termos de x, L e h 0 , está faltando determinar o h 0 , que ocorre em x = L , então, vamos substituir esse valor de x na equação que encontramos para h , chegando em:

h 0 = w 0 L 3 b L σ a d m → h 0 = w 0 L 2 b σ a d m

Agora precisamos dar um jeito de fazer esse termo aparecer lá na equação de h . Para isso, vamos dividir a equação de h por h 0 dos dois lados, dessa forma, teremos:

h = w 0 x 3 b L σ a d m → h h 0 = w 0 x 3 b L σ a d m w 0 L 2 b σ a d m = w 0 x 3 b L σ a d m w 0 L 2 b σ a d m

h = h 0 w 0 x 3 b L σ a d m . b σ a d m w 0 L 2 → h = h 0 x 3 L 3

Tá aí! Essa é a expressão que queríamos pra h .

Passo 5

Agora para resolver a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para h 0 :

h 0 = w 0 L 2 b σ a d m

E vamos substituir os valores fornecidos no enunciado, chegando em um valor mínimo de h 0 :

h 0 = 300.10 3 0,75 2 0,03 200.10 6 → h 0 = 0,168   m

Resposta

a :   h = h 0 x 3 L 3

b :   h 0 = 0,168   m

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