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Um vagão ferroviário de massa m e velocidade inicial v colide e se acopa com os dois vagões idênticos. Calcule a velocidade final v ' do grupo de três vagões e a fração n de perda de energia se (a) a distância de separação inicial d = 0 (isto é, os dois vagões estacionados estão inicialmente acoplados sem folga no engate) e (b) a distância d ≠ 0 de modo que os vagões estão desacoplados e ligeiramente separados. Despreze a resistência ao rolamento.

Passo 1

(a) Vamos lembrar da lei de conservação de momento linear:

p i = p f

Inicialmente só o vagão da esquerda tem momento diferente de zero, e após a colisão o conjunto de três vagões se move junto com velocidade v ' :

m v = 3 m v '

v ' = m 3 m   v

v ' = 1 3   v

Passo 2

(a) E qual é a perda de energia nesse mesmo processo?

Δ E = 1 2 m v 2 - 1 2 3 m v ' 2

Δ E = 1 2 m v 2 - 1 2 3 m 1 3 v 2

Δ E = 1 2 - 1 6 m v 2 = 1 3 m v 2

E a perda em relação à energia inicial é:

n = Δ E K i = 1 3 m v 2 1 2 m v 2 = 2 3

Passo 3

(b) E agora, o que muda no caso em que d ≠ 0 ? Absolutamente nada! Vamos mostrar isso para garantir.

Dessa vez teremos duas colisões. A primeira acontece entre os dois primeiros vagões, que passam a andar juntos com uma velocidade intermediária v i n t :

p i = p f

m v = 2 m v i n t

v i n t = 1 2 v

E a segunda colisão acontece entre esse par de vagões com velocidade v i n t e o terceiro. Depois da colisão o conjunto de três vagões passa a andar com velocidade v ' :

p i = p f

2 m v i n t = ( 3 m ) ( v ' )

2 m 1 2   v = ( 3 m ) ( v ' )

v ' = 1 3   v

Ou seja, chegamos no mesmo resultado de antes! Naturalmente, isso quer dizer que o cálculo da perda de energia dará o mesmo resultado.

Resposta

Nos dois casos a velocidade final é v ' = 1 3 v e a perda de energia é de 2 3 da energia inicial.

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