Enunciado

A velocidade de uma partícula que se desloca ao longo do eixo s é dada por v = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 , onde t é em segundos e v é em metros por segundo. Calcule a posição s , a velocidade v , e a aceleração a quando t = 3   s . A partícula está na posição s 0 = 3   m quando t = 0 .

Passo 1

Vamos começar encontrando as funções da posição, da velocidade e da aceleração. Precisamos lembrar dessa relação:

a t = d d t v t = d 2 d t 2 s ( t )

O enunciado já deu a função v ( t ) . Para encontrar a ( t ) , precisamos derivar:

a t = d d t 2 - 4 t + 5 t 3 2

a t = - 4 + 15 2 t 1 2

E para encontrar s ( t ) precisamos integrar:

s t = ∫ 2 - 4 t + 5 t 3 2   d t

s t = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 2 + C

E essa constante de integração vai representara a posição inicial da partícula ( C = s 0 ) , que o enunciado já informou:

s t = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 2 + 3

Passo 2

Agora precisamos calcular todas essas funções no instante t = 3   s .

Começando pela posição:

s t = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 2 + 3

s 3 = 2 ( 3 ) - 2 ( 9 ) + 2 ( 3 ) 5 2 + 3

s 3 ≅ 22,2   m

E agora a velocidade:

v ( t ) = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2

v 3 = 2 - 4 3 + 5 3 3 / 2  

v 3 ≅ 15,98   m / s

E a acelerçaão:

a t = - 4 + 15 2 t 1 2

a t ≅ 8,99   m / s 2

Pronto!

Resposta

No instante t = 3   s a posição é 22,2   m , a velocidade é 15,98   m / s e a aceleração é 8,99   m / s 2 .

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