Enunciado

Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade de 30   m / s na borda de um penhasco com 60   m . Calcule a altura h para a qual a bola se eleva e o tempo total t após a liberação para a bola alcançar o fundo do penhasco. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração para baixo como 9,81   m / s ² .

Passo 1

Vamos começar pensando na trajetória entre o momento em que a bola é lançada e o momento que ela atinge a altura máxima h .

Essa é uma trajetória bastante simples de calcular, porque a aceleração é constante para baixo e nós já temos a velocidade inicial:

a = ( - 9,8 1 )   m / s 2

Integrando em relação ao tempo:

v = ( - 9,8 1 ) t + v 0

Quando a bola atinge a altura máxima a velocidade necessariamente se anula, ou seja v = 0 .

0 = ( - 9,8 1 ) t + v 0

t = - v 0 ( - 9,8 1 )

E substituindo os valores numéricos:

t = - 30 - 9,81 ≅ 3,06   s

E esse é o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima.

Passo 2

Agora, para encontrar a altura h é só calcular quanto a partícula sobe nesse intervalo de tempo.

Integrando mais uma vez a nossa função lá de cima:

v = ( - 9,8 1 ) t + v 0

s = ( - 9,8 1 ) t 2 2 + v 0 t + s o

E substituindo t = - v 0 / g , v 0 = 30   m / s   e s 0 = 0 .

s = - 9,81 3,06 2 2 + 30 3,06

s ≅ 45,87   m

E essa é a altura máxima que a bola atinge:

h ≅ 45,87   m

Passo 3

Agora falta calcular o tempo que a bola demora para atingir o solo a partir da altura máxima.

Vamos esquecer os referenciais que usamos até aqui, porque eles seriam inconvenientes. No topo da trajetória, a distância entre a bola e o solo é:

H = 60 + h ≅ 105,87

E o tempo que um objeto solto a partir do repouso demora para cair essa distância sob ação da gravidade é:

H = g t 2 2

t = 2 H g ≅ 4,64   s

Somando com o tempo que calculamos anteriormente:

t t o t a l = 4,64 + 3,06 ≅ 7,7   s

Pronto!

Resposta

A bola se eleva a h = 45,87   m do chão, e o tempo total da trajetória é aproximadamente 7,70   s .

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