Enunciado

A aceleração de uma partícula é dada por a = - k s 2 , onde a é em metros por segundo ao quadrado, k é uma constante, e s é em metros. Determine a velocidade da partícula como uma função de sua posição s . Avalie sua expressão para s = 5 m se k = 0,1   m - 1 s - 2 e as condições iniciais no instante t = 0 são s 0 = 3   m e v 0 = 10 m / s .

Passo 1

Aqui é preciso ter cuidado, porque a aceleração não foi dada em função do tempo, mas sim da posição s .

a = - k s 2

Podemos escrever a aceleração como a derivada da velocidade:

a = d v d t

E a velocidade como derivada da posição:

v = d s d t

Isolando d t nas duas equações acima, podemos obter um sistema:

d t = d v / a d t = d s / v

E então ficamos com a seguinte equação:

d v a = d s v

v   d v = a   d s

Passo 2

Agora podemos substituir a equação dada no enunciado:

v   d v = a   d s

v   d v = - k s 2   d s

E agora podemos integrar nos dois lados:

∫ v 0 v v   d v = ∫ s 0 s - k s 2   d s

1 2 ( v 2 - v 0 2 ) = - k 3 s 3 + k 3 s 0 3

E a nossa função para a velocidade fica:

1 2 v 2 = - k 3 s 3 + k 3 s 0 3 + 1 2 v 0 2

Passo 3

O próximo passo é avaliar essa função no caso em que s = 5   m , k = 0,1   m - 1 s - 2 , s 0 = 3   m e v 0 = 10   m / s .

1 2 v 2 = - 0,1 3 5 3 + 0,1 3 3 3 + 1 2 10 2

1 2 v 2 ≅ - 4,17 + 0,9 + 50

v = 93,46   ≅ 9 , 67   m / s  

Resposta

A velocidade da partícula é dada pela função v 2 = - 2 k 3 s 3 + 2 k 3 s 0 3 + v 0 2 , e vale aproximadamente 9 , 67   m / s nas condições mencionadas.

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