Enunciado

A viga de aço com 3,6   m possui uma massa de 125   k g e é içada a partir do repouso onde a tração em cada um dos cabos é de 613   N . Se o tambores de elevação recebem acelerações angulares iniciais α 1 = 4   r a d / s 2 e α 2 = 6   r a d / s 2 , calcule as trações correspondentes T A e T B nos cabos. A viga pode ser considerada como uma barra esbelta.

Passo 1

Vamos começar calculando as acelerações lineares associadas às acelerações angulares α 1 e α 2 nos tambores de elevação:

a 1 = α 1 r 1 = 4 0,375 2 = 0,75   m / s 2

a 2 = α 2 r 2 = 6 0,375 2 = 1,125   m / s 2

E essa diferença entre as duas acelerações tenderá a produzir uma rotação na barra. Podemos calcular a aceleração angular associada a esse fenômeno:

α = 1,125 - 0,75 ( 1,2 ) = 0,3125   r a d / s 2

E a aceleração do centro de massa da barra será dado pela média aritmética dessas duas acelerações, já que esse centro está exatamente no ponto médio entre A e B :

a c m = 1,125 + 0,75 2 = 0,9375   m / s 2

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar as trações T A e T B nos cabos, então vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção vertical:

∑ F y = m a c m

T A + T B - m g = m ( 0,9375 )

T A + T B = m 0,9375 + 9,81 = 1343   N

E agora vamos calcular o momento resultante em relação ao centro de massa:

∑ M c m = I c m α

O momento de inércia em relação ao centro de massa de uma barra esbelta é:

I c m = 1 12 m l 2

E os momentos das forças podem ser calculados com a ajuda do desenho, lembrando que a força peso terá momento nulo já que passa pelo centro de massa:

∑ M c m = 1,2 2 T B - 1,2 2 T A

E então:

1,2 2 T B - 1,2 2 T A = 1 12 m l 2 α

T B - T A = 1 12 0,6 125 3,6 2 0,3125

T B - T A = 70,3125

Passo 3

E assim ficamos com um sistema de duas equações:

T A + T B = 1343 T B - T A = 70,3125

Somando as duas equações encontramos o seguinte:

2 T B = 1413,3

T B = 706,7   N

E consequentemente:

T A = 636,3   N

Resposta

As trações são T A = 636,3   N e T B = 706,7   N .

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