Enunciado

Qual deve ser o raio r 0 do encaixe circular para que não haja força de atrito agindo entre o carretel e a superfície horizontal independentemente do módulo da força P aplicada ao cabo? O raio de giração centroidal do carretel é k - .

Passo 1

Vamos começar escrevendo o momento de inércia em relação ao ponto C em que o carretel está em contato com a superfície.

Precisamos do teorema dos eixos paralelos:

I = I c m + m d 2

E nesse caso o momento de inércia em relação ao centro de massa pode ser escrito em função do raio de giração k - :

I c m = m k - 2

E a distância d entre o centro de massa e o ponto C é o raio r do carretel, então:

I = m k - 2 + m d 2 = m k - 2 + r 2

E então se calcularmos o momento total em relação ao ponto C vamos ficar com a seguinte expressão:

∑ M C = I C α

E a única força que produz momento em torno do ponto C é a força P , que está a uma distância ( r + r 0 ) do ponto C :

P r + r 0 = m k - 2 + r 2 α

Passo 2

Até aqui temos uma equação com duas variáveis desconhecidas: α e r 0 . Vamos escrever mais uma equação para poder resolver o problema, dessa vez utilizando a segunda lei de Newton na direção horizontal:

∑ F x = m a x

E a única força que age nessa direção é P , e a aceleração é dada por a x = r α :

P = m r α

Então nosso sistema é:

P = m r α P r + r 0 = m k - 2 + r 2 α

Vamos multiplicar a equação de cima por ( r + r 0 ) e então dividir a primeira pela segunda:

1 = m r α r + r 0 m k - 2 + r 2 α

r r + r 0 = k - + r 2

E isolando r 0 :

r 0 = k - r

Resposta

O raio do encaixe circular deve ser r 0 = k - r .

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