Enunciado

A viga afunilada simplesmente apoiada suporta a força concentrada p em seu centro. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga.

Passo 1

Para resolver a questão precisamos aplicar a equação da flexão. Porém, o momento interno e a geometria da seção mudam com a distância. Então faremos o seguinte procedimento:

  • Calculamos as reações de apoio e encontramos uma equação para o momento fletor M ( x )
  • Encontramos uma equação para o momento de inércia I ( x )
  • Aplicamos a equação da flexão σ x = M x ⋅ c ( x ) I ( x )
  • Derivamos e igualamos a equação da flexão a zero para encontrar o ponto de máximo d σ x d x = 0
  • Utilizamos o valor encontrado para determinar a tensão máxima

Para facilitar nossas contas, vamos levar em consideração que a viga é simétrica, e consequentemente seus esforços e tensões são simétricos. Então faremos esses cálculos apenas para uma metade da viga!

Passo 2

Calculamos as reações de apoio para a viga inteira:

∑ M B = 0 ⇒ - R A ⋅ 2 L + P L = 0

R A = P 2

∑ F Y = 0 ⇒ R A - P + R B = 0

R B = P 2

Passo 3

Vamos gerar uma função pro momento fletor sobre a viga

∑ M = 0 ⇒ - R A x + M ( x ) = 0

M x = P 2 x

Passo 4

Vamos calcular as propriedades geométricas da seção:

c x = r ( x )

I x = π r x 4 4

Passo 5

Vamos definir uma função que represente a variação do raio ao longo do comprimento da viga. Vamos nos concentrar e apenas metade viga:

O comportamento do raio é linear. Então podemos aplicar uma regressão linear:

r x - r 0 x = 2 r 0 - r 0 L

r x = r 0 L x + r 0

Simplificando:

r x = r 0 L ( x + L )

Passo 6

Vamos aplicar a equação da flexão:

σ x = M x ⋅ c x I x

σ x = P 2 x ⋅ r ( x ) π r x 4 4

σ x = 2 P x π r x 3

Aplicando r ( x )

σ x = 2 P L 3 x π r 0 3 ⋅ x + L 3

σ x = 2 P L 3 π r 0 3 x x + L 3

Passo 7

Para encontrar o ponto máximo, vamos derivar a equação da flexão e igualar a zero

d σ x d x = 0

2 P L 3 π r 0 3 ⋅ 1 ⋅ x + L 3 - x ⋅ 3 x + L 2 ⋅ ( 1 ) x + L 6 = 0

Jogando o denominador e as constantes pro outro lado:

x + L 3 - 3 x ⋅ x + L 2 = 0

Pondo em evidência e simplificando:

x + L 2 ⋅ ( L - 2 x ) = 0

Resolvendo, termos dois resultados:

x = - L

x = L 2

Vamos desconsiderar o valor negativo:

x m a x = L 2

Passo 8

Finalizamos a questão aplicando o valor x m a x na equação da flexão:

σ x m a x = 2 P L 3 π r 0 3 x m a x x m a x + L 3

σ m a x = 2 P L 3 π r 0 3 L / 2 L / 2 + L 3

σ m a x = 2 P L 3 π r 0 3 ⋅ 4 27 L 2

σ m a x = 8 P L 27 π r 0 3

Resposta

x m a x = L 2

σ m a x = 8 P L 27 π r 0 3

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