Enunciado

Para a viga de altura variável mostrada na figura, sabendo que w = 160   k N / m , determine ( a ) a seção transversal na qual ocorre a tensão normal máxima e ( b ) o valor correspondente da tensão normal.

Passo 1

Fala aí, pessoal. Beleza? Bora zerar esse livro.

Primeiro, vamos determinar as reações de apoio através das equações de equilíbrio. Por simetria, temos que:

F A = F B

Portanto:

∑ F y = 0 F A + F B - w L = 0 F A = F B = 1 2 w L

E então, podemos determinar a equação de momento fletor através das equações de equilíbrio para o segmento 0 ≤ x < L , logo:

∑ M = 0 - 1 2 w L + w x 2 2 - M = 0 M = - w 2 L x - x 2

Passo 2

Para a altura variável da viga, temos que h é uma reta em função de x :

h = a + k x h = 120 + k x

Onde k é o coeficiente angular da reta, dado por:

k = 300 - 120 0,6 = 300   m m / m

Portanto:

h = 120 + 300 x

Em seguida, vamos calcular o valor mínimo admissível do módulo de resistência da seção da viga. Para esta seção retangular, temos:

W = 1 6 b h 2 W = 1 6 b a + k x 2

Em seguida, sabemos que a tensão normal admissível causada pelo momento fletor é dada por:

σ a d m = M W

Substituindo:

σ = w L 2 8 L x - x 2 1 6 a + k x 2 σ = 3 w b L x - x 2 a + k x 2

E então, para encontrarmos o ponto de máxima tensão de flexão, temos que d σ d x = 0 . Logo:

d σ d x = 3 w b d d x   L x - x 2 a + k x 2 = 0 3 w b a L - ( 2 a + k L ) x a + k x 3 = 0

Passo 3

Agora, para determinarmos a seção transversal na qual ocorre a tensão normal máxima, basta determinarmos a posição x , que é a distância do ponto A até o ponto onde ocorre o momento máximo, através da equação que acabamos de encontrar. Temos:

3 w b a L - 2 a + k L x a + k x 3 = 0

Nesta parte, a gente não precisa considerar a a carga distribuída, pois a posição independe dela. Logo, podemos reescrever a equação assim

a L - 2 a + k L x a + k x 3 = 0 Isolando x :

x = a L 2 a + k L

Subsituindo:

x = 120 1,2 2 120 + 300 1,2 x = 240   m m

Assim, vamos utilizar esta posição de x , para encontrarmos o valor da altura da viga. Fica assim:

h = 120 + 300 x h = 120 + 300 0,240   h = 192   m m

Portanto, a nossa seção vai ser:

20 × 192   m m

Passo 4

Por fim, para encontrarmos a tensão normal, vamos utilizar a relação da tensão causada pelo momento fletor. Ela é dada por:

  σ = M W

Primeiro, sabemos que o valor mínimo admissível do módulo de resistência da seção da viga no ponto de flexão máxima que encontramos anteriormente é dado por:

W = 1 6 b h 2 W = 1 6 20 192 2 W = 122,88 × 10 - 6   m 3

Em seguida, vamos determinar o momento. Para isso, basta substituirmos na equação de momento fletor que a gente encontrou. Temos:

M = - w 2 L x - x 2 M = 160 2 1,2 0,240 - 0,240 2 M = 18,432   k N ∙ m

Agora que encontramos as variáveis das quais a tensão depende, basta substituirmos na sua fórmula:

  σ = 18,432 × 10 3 122,88 × 10 - 6   σ = 150   M P a

É isso, galera! Bora fazer mais exercícios pra ficar craque.

Resposta

20 × 192   m m

  σ = 150   M P a

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