Enunciado

Uma viga em balanço A B é de altura h constante e de largura b variável. Sabendo-se que a viga deve ser de resistência constante, expressar b em termos de b 0 ,   x e L , se o único carregamento é: (a) uma força vertical em A ; (b) uma carga distribuída uniformemente ao longo da linha A B .

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Para resolver esse problema a gente vai ter que achar uma o nosso b como uma função de x . Para isso a gente vai ter que utilizar principalmente aquela nossa equação da tensão admissível.

σ a d m = M W

Então a gente tem que basicamente achar o momento fletor dessa viga e o módulo de resistência dela.

vamos fazer isso para duas situações, um ponto qualquer x e um ponto específico x = L daí é só comparar os dois resultados, então partiu?

Passo 2

Primeiro vamos observar a seção desta viga, que é retangular:

Tranquilo né? Mas mesmo sendo tranquilo é muito importante entender que a seção sempre será um retângulo, a única coisa que vai mudar é a base.

Então vamos calcular o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Como temos um retângulo o momento de inércia é dado por:

I = 1 12 b h 3

e, como a linha neutra se localiza no centro do retângulo, a distância c é igual a:

c = h 2

Substituindo no módulo resistente:

W = b h 3 12 h 2

W = b h 2 6

Show de bola!

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Para isso que tal fazermos um desenho simplificado dessa viga?

Uma viga em balanço é uma viga engastada e, apesar de mal formulado, o problema da a entender que o engaste é em B . Além disso já podemos perceber que a força B x é nula porque é a única força em x . Agora vamos partir para o omatório das forças em y :

∑ F y = 0

B y - F × L = 0

B y = F L   k N

Agora o somatório dos momentos:

∑ M B = 0  

( F × L ) × L 2 + M b = 0

M b = - F L 2 2   k N . m

Galera, como a viga está engastada e momento fletor máximo será igual ao prório momento puro do engaste M b , assim:

M m á x = F L 2 2   k N   .   m

obs: O sinal não faz muita diferença, o importante aqui é o módulo!

Mas a gente precisa também da distribuição do momento fletor que será dada por:

M x = F x 2 2   k N . m

Passo 4

Estamos quase no fim! UHULLLLL

Agora chegamos no ponto mais importante desta questão que é aplicar o momento fletor M em conjunto com o nosso módulo resistente W e comparar com a tensão admissível σ a d m da seguinte forma:

σ a d m = M W

Lembrando que:

W = b h 2 6

e

M = F x 2 2

obs: Precisamos apenas do módulo =D

Vamos substituir os valores que calculamos:

σ a d m = F x 2 2 b h 2 6

Simplificando:

σ a d m = 3 F x 2 b h 2

Essa valor que achamos é para qualquer ponto x da nossa viga, logo, deve valer também para x = L , porque L ? Porque é onde o momento fletor máximo se localiza! Assim, ficará da seguinte forma:

W = b 0 h 2 6

M x = L = F L 2 2

Substituindo em..

σ a d m = M W

Vamos obter:

σ a d m = F L 2 2 b 0 h 2 6

Simplificando:

σ a d m = 3 F L 2 b 0 h 2

Passo 5

Viram que temos duas equações com σ a d m ? Então agora é só igualar as duas:

σ a d m = 3 F x 2 b h 2

E

σ a d m = 3 F L 2 b 0 h 2

Igualando:

3 F x 2 b h 2 = 3 F L 2 b 0 h 2

Simplificando:

x 2 b = L 2 b 0

b = b 0 × x L 2

Resposta

b)

b = b 0 × x L 2

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