Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, domensionar a seção transversal da viga, sabendo-se que a para o tipo de madeira usada a σ a d m = 12   M P a e τ a d m = 825   k P a .

Passo 1

Para resolver esse problema a gente vai seguir o seguinte passo a passo:

  1. Calcular as reações em B , por meio das equações da estática.
  2. Calcular a força cortante e o momento fletor.
  3. Achar o momento fletor máximo.
  4. Calcular o módulo resistente da seção W .
  5. Utilizar o momento fletor máximo o módulo resistente da seção e a máxima tensão admissível σ a d m para achar o comprimento d .

Passo 2

Vamos olhar um esquemihnha primeiro para nos ajudar, observe que, por estar engastada, a barra recebe duas forças de reação mais um momento puro.

Onde

F c o n c e n t r a d a = - w 0 × L = - 4 × 1,8

Aplicando a equação de equilíbrio em relação à vertical vamos ter:

∑ F y = 0

- 4 × 1,8 + B y = 0

B y = 7,2   k N

Agora vamos aplicar o momento em B:

∑ M B = 0

obs: A força concentrada atua na metade da barra:

4 × 1,8 × 1,8 2 - M b = 0

Lembre-se que existe um momento puro M b porque a barra está engastada em B

M b = 6,48   k N . m

Passo 3

Agora vamos calcular a força cortante e o momento fletor. Começando pelo momento fletor:

V x = - 4 x

E agora vamos integrar essa equação para achar o momento:

M = ∫ V x   d x

M = ∫ 4 x   d x

M = - 2 x 2

Passo 4

Agora a gente precisa do momento fletor máximo que ocorre no ponto de engaste e é igual a M b ou seja:

M m á x = 6,48   k N . m

Com isso a gente pode achar o valor da tensão cisalhante normal máxima da fora:

σ = M . c I

Mas a gente não vai fazer essa conta direto, vamos utilizar uma propriedade chamada de módulo resistente da seção W , que é dada por:

W = I c

Ou seja, o momento de inércia I sobre a maior distância até a linha neutra c . Vamos calcular esse W ?

I = 1 12 b h 3

I = 1 12 0,090 d 3

c = d 2

Assim:

W = 1 12 0,090 d 3 d / 2

Reorganizando:

W = 1 12 0,090 d 3 × 2 d

W = 0,090 6 d 2

Vamos guardar esse valor porque isso é importante!

Passo 5

Agora vamos substituir na equação da tensão normal:

Perceba que como

W = I / c

Então:

σ = M W

Aí aqui a gente vai fazer o négocio um pouco diferente. Se lembra que eu disse que o W era importante? Então, agora que vamos utiliza-lo porque a equação acima pode ser escrita como:

W = M m á x σ a d m

Agora é só substituir os valores que a gente já achou!

0,090 6 × d 2 = 6,48 × 10 3 12 × 10 6

d = 189,7   m m

Resposta

d = 189,7   m m

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