Enunciado

Para uma viga feita de dois ou mais materiais com diferentes módulos de elasticidade, mostra que a Eq. 510

τ = V Q I t

Permanece válida, desde que os valores de Q e I sejam calculados usando a seção transformada da viga (veja Sec 4.7) e desde a espessura t seja a largura real da viga, no ponto onde a tensão τ é calculada

Passo 1

Pra começar, vamos imaginar uma viga com dois materiais.

Pra facilitar, vamos pensar em uma viga quadrada, com dois materiais com módulos de elasticidade diferentes:

O que vamos fazer é transformar essa seção! Pra isso a gente precisa de um módulo de referência E r e f . E vamos calcular duas constantes n 1 e n 2 . Essas constantes representam a divisão dos módulos de elasticidades pelo módulo de referência:

n 1 = E 1 E r e f n 2 = E 1 E r e f

E com isso, a gente transforma as seções. Lembre-se, pra transformar uma seção, basta multiplicar a largura de cada região da viga pelos valores de n

Passo 2

Agora temos uma seção transformada:

Essa seção transformada terá um momento de inércia I , e as distâncias y 1 e y 2 são em relação ao centroide da seção transversal.

Imagine que a nossa viga está sofrendo um momento qualquer Δ M . A tensão em um ponto qualquer y será:

Δ σ x = n ⋅ Δ M ⋅ y I

Onde o valor de n pode ser n 1 ou n 2

Passo 3

Show!

Com o valor calculado das tensões podemos calcular o esforço horizontal sobre a viga:

F H = ∫ Δ σ x ⋅ d A F H = ∫ n ⋅ Δ M ⋅ y I ⋅ d A F H = Δ M I ⋅ n ∫ y ⋅ d A  

Perceba que a integral ∫ y ⋅ d A   representa o momento estático de uma seção! Então a expressão n ∫ y ⋅ d A representa o momento estático da seção transformada Q :

F H = Δ M I ⋅ Q  

Passo 4

O pior já passou. Agora vamos usar a força F H para calcular o momento estático:

q = F H Δ x q = Δ M I ⋅ Q Δ x q = Δ M Δ x ⋅ Q I

Quando dividimos um momento por uma distância, encontramos uma força! Neste caso, ao dividir Δ M Δ x o resultado é a força de cisalhamento V

q = V Q I

Logo:

τ = q t = V Q I t

E com isso demonstramos a questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para a viga com o carregamento indicado, considerar a seção n - n e determinar: (b) a tensão de cisalhamento no ponto a .
Para a viga com o carregamento indicado, considerar a seção n - n e determinar: (b) a tensão de cisalhamento no ponto a .
Para a viga de perfil de aço laminado com abas largas e submetidas ao carregamento indicado, determinar numa seção localizada no meio do vão: (b) a maior tensão de cisalhamento, usando a aproximação τ
Para a viga de perfil de aço laminado com abas largas e submetidas ao carregamento indicado, determinar numa seção localizada no meio do vão: (a) a maior tensão normal.
Para a viga de perfil de aço laminado com abas largas e submetidas ao carregamento indicado, determinar numa seção localizada no ponto médio entre os pontos D e E : (b) a maior tensão de cisalhamento,