Enunciado

A viga de madeira de ser carregada como mostra a figura. Se as extremidades suportarem somente forças verticais, determine o maior valor de P que pode ser aplicado. σ a d m = 25 M P a ,   τ a d m = 700   k P a

Passo 1

Fala! A gente quer o maior valor de P , certo? Basicamente, o que a gente pode fazer é achar as tensões máximas nessa viga em função de P e comparar com a tensões admissíveis. Aí o menor valor de P que a gente achar vai ser nossa resposta.

Queremos as tensões máximas, então precisamos pelas reações de apoio.

Como a carga é simétrica:

R A = R B

Pelas equações de equilíbrio:

∑ F y = 0 ⇒ R A - P + R B = 0

R A = R B = P 2

Passo 2

Queremos achar os esforços máximos. Vamos fazer os diagramas.

Para o diagrama do cortante podemos usar “a jornada do cortante”. Para esse caso, ela funciona assim: como no começo a gente tem uma carga P / 2 para cima, nós subimos esse valor e depois ficamos constantes até a carga pontual P .

Depois, como essa carga está para baixo, a gente desce esse valor P e depois continua constante até a próxima carga P / 2 . E aí como essa carga está para cima, a gente sobe esse valor e fecha nosso diagrama:

Vemos que o cortante máximo é:

V m a x = P 2

Para o momento, podemos lembrar que para uma viga biapoiada com carga no meio, o momento máximo é no meio. Então a gente calcula o momento nessa seção.

∑ M = 0 → M - 4 P 2 = 0

M m a x = 2 P

Passo 3

Vamos calcular as propriedades geométricas da seção!

O centroide da seção é:

y c = 40 ⋅ 120 ⋅ 60 + 150 ⋅ 30 ⋅ 135 40 ⋅ 120 + 150 ⋅ 30

y c = 96,29   m m

O momento de inércia é:

I l a r a n j a = 150 ⋅ 30 3 12 + 150 ⋅ 30 ⋅ 96,29 - 135 2

I v e r d e = 40 ⋅ 120 3 12 + 40 ⋅ 120 ⋅ 96,29 - 60 2

I = I v e r d e + I l a r a n j a = 19,16 ⋅ 10 6   m m 4

Ponto de maior tensão normal:

c = y c

c = 96,29   m m

Momento estático:

Q = 150 ⋅ 30 ⋅ 38,71 + 23,71 ⋅ 40 ⋅ 23,71 2

Q = 185438,282   m m 3

Repara que a gente calculou o momento estático na linha que passa pelo centroide. Isso porque é nessa linha que ocorre o cisalhamento máximo.

Passo 4

Vamos calcular agora a tensão máxima normal causada pelo momento em função de P e compara-lá a tensão normal admissível.

Aplicamos agora a equação 6.11 da tensão normal máxima:

σ m á x = M c I → σ m á x = M c I = σ a d m

Para essa tensão ser máxima, precisamos que c seja o ponto mais distante do eixo que passa pelo centroide. Logo, c = 96,29   m m .

Aplicando os valores:

25   M P a = P L 4 ⋅ 96,29   m m 19,16 ⋅ 10 6   m m 4

Isolando o P :

P = 4 ⋅ 25   M P a ⋅ 19,16 ⋅ 10 6 m m 4 96,29   m m ⋅ 8000   m m

A força P é:

P = 2487,28   N

Passo 5

Vamos calcular agora o cisalhamento máximo causado pelo cortante em função de P e compara-lo a tensão de cisalhamento admissível.

Aplicamos a equação do cisalhamento:

τ m á x = V Q I t → τ a d m = V Q I t

Onde t é a expessura da nossa seção na linha estudada, t = 40   m m .

0,7   M P a = P 2 ⋅ 185438,282   m m 3 19,16 ⋅ 10 6   m m 4 ⋅ 40 m m

Isolando o P

P = 2 0,7   M P a ⋅ 19,16 ⋅ 10 6   m m 4 ⋅ 40 m m 185438,282   m m 3

A força é:

P = 5786,08   N

Passo 6

Para garantir a resistência, devemos selecionar o menor valor de P

P = 2487,28   N

Resposta

P = 2,49   k N

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