Enunciado

A lança é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro de 6   m m com tensão normal admissível σ a d m = 168 M P a . Determine a maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo quando θ = 30 ° e ϕ = 45 ° . Despreze o tamanho do guincho.

Passo 1

E aí meus consagrados, como vocês estão? Prontos pra mais uma questão?

Pois então bora, o que nós desejamos com essa questão é determinar maior carga que pode ser suportada sem provocar a ruptura do cabo, sendo assim, vamos definir aqui todas as nossas constantes de acordo com a notação que usaremos nesse problema da seguinte forma

σ a d m = 168 M P a ,     d 0 = 6   m m ,     θ = 30 ° ,     ϕ = 45 °

Além disso vamos nós temos que a tração no cabo pode ser descrita como sendo

T c a b o = A c a b o ⋅ σ p e r m i t i d o

Porque a tensão é força sobre área correto?

σ = F A

Passo 2

A partir da relação entre a tração no cabo, a área e a tensão vamos ter:

T c a b o = A c a b o ⋅ σ p e r m i t i d o

A c a b o = π 4 ⋅ d 0 2

T c a b o = π 4 ⋅ d 0 2 ⋅ σ p e r m i t i d o

Substituindo os valores:

T c a b o = π 4 ⋅ 6 m m 2 ⋅ 168 M P a

T c a b o = π 4 ⋅ 6 × 10 - 3 2 ⋅ 168 × 10 6

T c a b o = 4 750   N

Passo 3

Agora, sabendo que o nosso sistema está em equilíbrio isso vai implicar que o somatório das forças em uma determinada direção deve ser igual a 0. Dessa forma, aplicaremos as equações de equilíbrio ao longo dos eixos x e y obtendo o seguinte para o eixo x

∑ F x = 0

  - T c a b o ⋅ c o s θ + F a b ⋅ c o s ϕ = 0

Aqui a gente teve de decompor as forças em x por isso utilizamos o cosseno de ambos os ângulos e vale lembrar também que a tensão do cabo é negativo porque aponta para a esquerda.

- 4 750   N ⋅ cos ⁡ 30 ° + F a b ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0

F a b = 4750   N ⋅ cos ⁡ 30 ° cos ⁡ 45 °

F a b = 5 818   N

De forma análoga faremos ao longo do eixo y obtendo

∑ F y = 0

Considerando como W a força peso. E lembrando que agora a decomposição se dará na vertical vamos ter que utilizar o seno dos ângulos:

- W - T c a b o ⋅ s i n θ + F a b ⋅ s i n ϕ = 0

- W + - 4 750   N ⋅ sin ⁡ 30 ° + 5818   N ⋅ sin ⁡ 45 ° = 0

W = 5 818   N ⋅ 2 2 + - 4 750   N ⋅ 1 2

W = 1 739   N

Pronto, tá finalizado o nosso problema.

Resposta

F a b = 5,818 k N

W = 1739   N

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