Enunciado

Antes de aplicar a carga P, havia uma folga de δ 0 = 0,5   m m entre a viga em balanço AC e o suporte em B. Sabendo que E = 200 GPa, determine a intensidade de P para qual a deflexão em C é de 1 mm.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o princípio da superposição para encontrar cada uma das inclinações e deflexões e depois somar para encontrar uma expressão para a deflexão total em C. Com isso teremos um sistema de equações para resolver e conseguiremos encontrar a intensidade da força P. Bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar esse exercício encontrando o momento de inércia da nossa viga, como temos uma seção retangular, o momento de inércia será:

I = b h 3 12 = 0,06 0,06 3 12 → I = 1,08.10 - 6   m 4

Vamos aproveitar e calcular o valor do termo EI, que também usaremos lá na frente. Então teremos:

E I = 200.10 9 1,08.10 - 6 → E I = 216.10 3   N . m 2

Agora nós vamos considerar o diagrama para a nossa viga somente até o ponto B, para poder escrever a deflexão nesse ponto em função do δ 0 dado, (lembre-se do momento gerado por P no ponto B), então teremos o seguinte DCL:

Agora podemos utilizar o apêndice D para pegar a deflexão máxima causada pelo carregamento, no nosso caso, temos o caso 1 e o caso 3, com carga e momento aplicados na ponta. E, para a situação inicial, onde tínhamos a folga δ 0 , a deflexão máxima nesse caso será justamente esse valor, então podemos escrever:

δ 0 = P - A y L 3 3 E I + P a L 2 2 E I

δ 0 = - A y L 3 3 E I + P E I L 3 3 + a L 2 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos na seguinte expressão:

0,5.10 - 3 = - A y 0,5 3 3 216.10 3 + P 216.10 3 0,5 3 3 + 0,2 0,5 2 2

0,06667 P - 0,041667 A y = 108

Beleza, essa será nossa equação 1, vamos guardar ela.

Passo 3

Agora nós vamos considerar a viga como um todo, só que iremos dividir as forças P e a reação em B em dois carregamentos, então para o primeiro caso, teremos:

Nesse caso, a deflexão máxima será dada pelo caso 1 do apêndice D, onde teremos:

δ C 1 = P L + a 3 3 E I

Agora, para o segundo carregamento, onde só teremos a força de apoio em B, nosso DCL será:

Agora, teremos que a inclinação e a deflexão no ponto B serão dadas pelas fórmulas do caso 1 do apêndice D, onde teremos:

θ B = A y L 2 2 E I

y B = A y L 3 3 E I

E, agora, para encontrar a deflexão em C, basta somar a deflexão em B com a parcela rotacionada em B, onde teremos:

y C 2 = y B + a θ B = A y L 3 3 E I + A y L 2 a 2 E I → y C 2 = A y E I L 3 3 + L 2 a 2

Passo 4

Agora temos que a deflexão total no ponto C será dada por:

δ C = δ C 1 - y C 2

Substituindo as expressões encontradas e o valor de δ C dado no enunciado, teremos:

1.10 - 3 = P L + a 3 3 E I - A y E I L 3 3 + L 2 a 2

1.10 - 3 = P 0,5 + 0,2 3 3 216.10 3 - A y 216.10 3 0,5 3 3 + 0,5 2 0,2 2

0,11433 P - 0,06667 A y = 216

Essa é a nossa segunda equação para resolver nosso problema. Então, multiplicando a primeira equação por (-1,6) e somando com a segunda, teremos:

0,06667 P - 0,041667 A y = 108

- 0,106672 P + 0,06667 A y = - 172,8

+

0,11433 P - 0,06667 A y = 216

=

0,007658 P = 43,2 → P = 5,64   k N

Shoow! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

P = 5,64   k N

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Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine ( a ) a inclinação na extremidade A e ( b ) a deflexão no ponto C . Use E = 200G P a
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