Enunciado

Para a viga uniforme em balanço e o carregamento mostrados nas figuras, determine a inclinação e a deflexão no (a) ponto B e no (b) ponto C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar esse exercício desenhando o DCL para a viga como um todo, que será dado por:

Agora, aplicando o somatório de momentos em relação ao ponto A, teremos:

+ ↺ ∑ M A = 0

M A - P a - P ( 2 a ) = 0 → M A = 3 P a

Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - P - P = 0 → A y = 2 P

Beleza! Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento x < a a partir do ponto A, onde teremos:

Agora nós vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para encontrar uma expressão para o momento resultante na viga nessa seção, então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

M A - 2 P x + M = 0 → M = 2 P x - 3 P a

Esse será o nosso momento na primeira seção da viga. Agora, para a segunda seção, vamos desenhar um DCL com 0 < x < 2 a , onde teremos:

Agora nós vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto E para encontrar uma expressão para o momento resultante na viga nessa seção, então teremos:

+ ↺ ∑ M E = 0

M A - 2 P x - P x - a + M = 0 → M = 3 P x - 4 P a

Esse será o nosso momento na segunda seção da viga.

Passo 3

Agora então podemos esboçar nosso diagrama M / E I , que será dado por:

Então, para a letra (a), temos que a inclinação na extremidade livre, será a inclinação entre os pontos A e B, que nada mais é do que a área abaixo da curva M / E I , ou seja:

θ B - θ A = A A B

Como temos um engaste no ponto A, não teremos inclinação nesse ponto. E, através do diagrama M / E I , temos também a área abaixo da curva entre esses pontos, então, a nossa equação para a inclinação se torna:

θ B - 0 = A - + A + = 1 2 4 3 a - 3 P a E I + 1 2 2 3 a 2 P a E I

θ B = - 2 P a 2 E I + 2 P a 2 3 E I → θ B = - 4 P a 2 3 E I

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t B / A = A B A x -

Em que A B A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto B. Então, dividindo a área nas duas partes, teremos:

t B - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 = 1 2 4 3 a - 3 P a E I 2 3 a + 2 3 . 4 3 a + 1 2 2 3 a 2 P a E I 2 3 . 2 3 a

t B - 0 = - 2 P a 2 E I 14 a 9 + 2 P a 2 3 E I 4 a 9 = - 28 P a 3 9 E I + 8 P a 3 27 E I

t B = - 76 P a 3 27 E I

Beleza! Agora bora pra (b).

Passo 4

Agora, para a letra (b), precisamos encontrar a inclinação no ponto C, então, repetindo os cálculos do passo 3, só que agora com relação ao ponto C, teremos primeiro para a inclinação:

θ C - θ A = A C A → θ C - 0 = - P a E I a + 1 2 - 2 P a E I a

θ C = - P a 2 E I - P a 2 E I → θ C = - 2 P a 2 E I

Agora, para a deflexão em C, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, onde teremos:

t C / A = A C A x -

Substituindo as expressões conhecidas, temos:

t C - t A = - P a E I a a 2 + 1 2 - 2 P a E I a 2 3 a

t C - 0 = - P a 3 2 E I - 2 P a 3 3 E I → t C = - 7 P a 3 6 E I

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : θ B = - 4 P a 2 3 E I ;   t B = - 76 P a 3 27 E I

b : θ C = - 2 P a 2 E I ;   t C = - 7 P a 3 6 E I

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