Enunciado

A viga AB, consistindo em uma placa de alumínio de espessura uniforme b e comprimento L e, deve suportar a força mostrada. (a) Sabendo que a viga deve ser de resistência constante, expresse h em termos de x, L e h 0 para a parte AC da viga. (b) Determine a força máxima admissível se L = 800 mm, h 0 = 200 mm, b = 25 mm e σ a d m = 72 MPa.

Passo 1

Tá legal! Nesse exercício, não precisamos encontrar nenhuma reação de apoio para o sistema. Aqui nós vamos utilizar as equações de singularidade para encontrar o carregamento, a força cortante e o momento fletor. Então, através do carregamento do enunciado, podemos escrever o carregamento em função da distância x da seguinte forma:

w = w 0 s e n π x L

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ w 0 s e n π x L d x

V = - - L w 0 π c o s π x L + C → V = L w 0 π c o s π x L + C 1

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ L w 0 π c o s π x L + C 1 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = L 2 w 0 π 2 s e n π x L + C 1 x + C 2

Agora nós podemos encontrar os valores das constantes de integração, já que temos duas condições de contorno, que são os momentos nas extremidades da barra, que são iguais a zero, então temos:

x = 0 → M = 0

x = L → M = 0

Substituindo a primeira condição, temos:

0 = L 2 w 0 π 2 s e n π ( 0 ) L + C 1 0 + C 2 → C 2 = 0

E, da segunda condição, temos:

0 = L 2 w 0 π 2 s e n π L L + C 1 L + 0 → 0 = L 2 w 0 π 2 s e n π + C 1 L

C 1 = 0

E, dessa forma, a equação do momento será:

M = L 2 w 0 π 2 s e n π x L

Passo 3

Agora, vamos utilizar a equação 5.18 vista nessa seção para escrever o módulo de resistência da viga, que será dado por:

W = M σ a d m

Substituindo a expressão para o momento na equação para o módulo de resistência, teremos:

W = L 2 w 0 π 2 s e n π x L σ a d m → W = L 2 w 0 π 2 σ a d m s e n π x L

Agora, lembrando que o módulo de resistência W para uma seção transversal retangular é dado por:

W = b h 2 6

Podemos igualar as duas expressões encontradas para W , fazendo isso, teremos:

b h 2 6 = L 2 w 0 π 2 σ a d m s e n π x L

Agora, isolando h dessa equação, chegaremos em:

h 2 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π x L → h = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π x L

Passo 4

Ainda estamos na letra (a), vamos lá! Para escrever h em termos de x, L e h 0 , está faltando determinar o h 0 , que ocorre em x = L / 2 , então, vamos substituir esse valor de x na equação que encontramos para h , chegando em:

h 0 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π L 2 L = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π L 2 L

h 0 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π 2 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m ( 1 )

h 0 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m

Agora precisamos dar um jeito de fazer esse termo aparecer lá na equação de h . Para isso, vamos dividir a equação de h por h 0 dos dois lados, dessa forma, teremos:

h = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π x L → h h 0 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π x L 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m

h = h 0 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π x L 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m

h = h 0 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m s e n π x L . b π 2 σ a d m 6 L 2 w 0 → h = h 0 s e n π x L

Tá aí! Essa é a expressão que queríamos pra h .

Passo 5

Agora para resolver a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para h 0 :

h 0 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m

Vamos isolar o carregamento w 0 :

h 0 2 = 6 L 2 w 0 b π 2 σ a d m → w 0 = b h 0 2 π 2 σ a d m 6 L 2

E vamos substituir os valores fornecidos no enunciado, chegando na força máxima admissível:

w 0 = 0,025 0,2 2 π 2 72.10 6 6 0,8 2 → w 0 = 185,1   k N / m

Resposta

a :   h = h 0 s e n π x L

b :   w 0 = 185,1   k N / m

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