Teoria Completa
Introdução
Sempre que vemos uma barra sob carregamento axial (tração ou compressão pura), o que nós fazemos é avaliar os esforços internos e as tensões nas seções transversais dessa barra.
Mas, de vez em quando, um exercício pode te pedir para calcular as tensões nessa barra em uma outra seção, que não seja transversal:
Como que ficam os esforços internos e as tensões nesse caso?
Esforços Internos no Plano Oblíquo
Vamos começar avaliando os esforços internos.
Como sempre, a força normal é normal (perpendicular) à seção e a força cortante é paralela à seção.
Para o equilíbrio da peça, a resultante dessas duas forças e tem que ser igual à força :
Ao fazer esse desenho acima, você deve tomar muito cuidado para encontrar o valor certo do ângulo com base no ângulo do desenho original do exercício.
Aqui vai uma dica de um bom jeito de pensar em relação a esses ângulos:
Cálculo dos Esforços Internos
A partir desse ângulo entre as forças...
...podemos calcular os esforços internos e em função da força resultante :
Mas atenção! Se o seu ângulo estiver em outra posição, essas relações trigonométricas vão ser diferentes:
Cálculo da Área da Seção Oblíqua
Calculados os esforços internos e , podemos calcular a tensão normal média e a tensão cisalhante média nessa seção.
Mas para usar essas fórmulas, precisamos antes calcular a área da seção que estamos estudando, que não é a área da seção transversal.
Para encontrar , calculamos primeiro a área usando os dados fornecidos pelo exercício.
Em seguida, tratamos as áreas como se fossem os lados de um triângulo para podermos fazer relações trigonométricas entre elas:
E assim encontramos a área da seção que estamos estudando em função de .
Como você pode ver, mais uma vez a relação trigonométrica é diferente dependendo da posição de no seu desenho.
Cálculo das Tensões
Depois de já ter:
- Desenhado os esforços internos e na seção oblíqua;
- Usado relações trigonométricas para encontrar e em função da força externa ;
- Calculado a área da seção transversal da barra;
- E usado uma relação trigonométrica para encontrar a área da seção oblíqua em relação à área da seção transversal.
Só vai faltar aplicar as fórmulas das tensões normal e cisalhante médias:
E assim você vai ter resolvido seu exercício.
Observação
Alguns exercícios podem pedir que você calcule o ângulo para que ou tenham seus valores máximos.
Para resolver esses exercícios, é bom se lembrar um pouco de cálculo.
Mais especificamente, se lembrar de que os máximos e os mínimos de uma função ocorrem nos pontos em que a sua derivada é igual a zero.
Ou seja, para , por exemplo, temos que:
Exercício Resolvido #1
Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angulada de . Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média suportada no plano da solda.
Passo 1
A peça está sendo tracionada por uma força e possui uma seção transversal com área de dimensões .
O exercício quer que a gente avalie a tensão normal média e a tensão cisalhante média em uma seção angulada em relação à horizontal.
Para calcular essas tensões, vamos ter que:
- Fazer uma análise de esforços internos nessa seção inclinada para encontrar a força normal e a força cortante ;
- Observar a geometria da peça para encontrar a área da seção inclinada em função da área da seção transversal.
Passo 2
Vamos começar pela análise de esforços internos na seção inclinada.
Para o equilíbrio das peças, a resultante das forças internas e no plano da solda deve ser igual à força :
Observando essa imagem, tiramos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a área da seção inclinada em função da área da seção transversal.
Observando a geometria da peça, vemos que :
Passo 4
Agora que , e foram encontrados, podemos aplicar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média:
Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos:
Reorganizando essas expressões:
Se quiséssemos só o resultado literal, pararíamos aqui.
Como precisamos dos valores numéricos de e , vamos substituir os valores de , e :
- ;
- ;
Sendo assim, temos:
é a mesma coisa que , então os resultados desses cálculos vão sair em .
Sabendo que e , podemos calcular essas equações, chegando às respostas:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Duas peças de madeira de seção retangular são coladas uma à outra em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura. Calcular as tensões na cola para e para:
) ;
) ;
) .
Passo 1
As peças estão sendo tracionadas por uma força e possuem uma seção transversal com área de dimensões .
O exercício quer que a gente avalie a tensão normal média e a tensão cisalhante média em uma seção angulada em relação à horizontal.
Para calcular essas tensões, vamos ter que:
- Fazer uma análise de esforços internos nessa seção inclinada para encontrar a força normal e a força cortante ;
- Observar a geometria da peça para encontrar a área da seção inclinada em função da área da seção transversal.
Feito isso, vamos ter que calcular os resultados para os diferentes valores de : , e .
Passo 2
Vamos começar pela análise de esforços internos na seção inclinada.
Para o equilíbrio das peças, a resultante das forças internas e no plano da cola deve ser igual à força :
Observando essa imagem, tiramos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a área da seção inclinada em função da área da seção transversal.
Observando a geometria da peça, vemos que :
Passo 4
Agora que , e foram encontrados, podemos aplicar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média:
Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos:
Reorganizando essas expressões:
Se quiséssemos só o resultado literal, pararíamos aqui.
Para calcular os valores numéricos, vamos substituir e :
Fazendo a divisão e sabendo que , temos:
Como é um número pequeno, preferimos apresentar os resultados em .
Fazendo isso, obtemos que:
Agora, nos próximos três passos, vamos calcular os resultados para os três diferentes valores de .
Passo 5
Para o item ) , temos:
Sabendo que e , podemos calcular essas equações, obtendo os resultados:
Passo 6
Para o item ) , temos:
Aqui, uma coisa curiosa acontece.
Como , as duas tensões vão obter o mesmo resultado:
Se formos prestar atenção, esse resultado equivale a dividido por .
Passo 7
Finalmente, para o item ) , temos:
Sabendo que e , podemos calcular essas equações, obtendo os resultados:
E assim temos todos os resultados para responder a questão:
Resposta
) , ;
) ;
) , .
Exercício Resolvido #3
Duas peças de madeira de seção são coladas na seção inclinada como mostra a figura.
Calcular o valor máximo admissível da carga , axial de compressão, dadas as tensões admissíveis na cola de à compressão e ao cisalhamento.
Dica do Expert: e .
Passo 1
Nós precisamos descobrir qual é a máxima carga de compressão nas peças tal que as tensões na cola não ultrapassem os seus valores admissíveis:
- para a tensão normal ;
- E para a tensão cisalhante .
E como podemos fazer isso?
Vamos pensar...
Cada carga vai gerar uma certa força normal e uma certa força cortante na seção inclinada da cola:
Além disso, a seção inclinada da cola possui uma área que é diferente da área de da seção transversal das peças de madeira:
Se encontrarmos as forças e , em função da carga , e a área da seção da cola, podemos usar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média :
Para encontrar as tensões na seção da cola em função da carga .
A partir daí, podemos descobrir qual é a carga que gera uma tensão normal e qual é a carga que gera uma tensão cisalhante .
O menor entre esses dois valores de vai ser a nossa resposta, já que qualquer valor maior geraria pelo menos uma tensão acima da admissível.
Passo 2
Então primeiro, vamos observar os esforços internos na seção da cola para encontrar as forças normal e cortante em função da carga :
Para o equilíbrio dessa peça, a resultante das forças internas e tem que ter a mesma intensidade da força externa e sentido oposto:
Como é o ângulo entre a horizontal (onde a carga atua) e a seção inclinada (onde a cortante atua), podemos desenhar esse ângulo no diagrama de forças e usar seno e cosseno para obtermos que:
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar a área da seção da cola.
Se observamos a geometria das peças, conseguimos relacionar a área dessa seção inclinada com a área da seção transversal das peças:
Como seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa:
Isolando a área , temos que:
Passo 4
Agora que , e foram encontrados para a seção da cola, podemos usar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média para essa seção:
Substituindo os valores encontrados nos últimos dois passos:
Passando o que está dividindo a área para cima, essas tensões ficam assim:
Passo 5
Para descobrir qual é o valor de que gera uma tensão normal de na seção da cola, partimos da expressão que encontramos no passo anterior:
Isolamos :
E substituímos os valores de , , e :
Lembra aí! , então o resultado desses cálculos vai sair em newtons!
Calculando tudo, obtemos que:
Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em :
Ou seja, a tensão normal admissível permite cargas de até .
Passo 6
Para descobrir o valor de que gera uma tensão cisalhante na seção da cola, partimos da outra expressão que encontramos no passo 4: