Tensões em Planos Oblíquos

Teoria Completa

Introdução

Sempre que vemos uma barra sob carregamento axial (tração ou compressão pura), o que nós fazemos é avaliar os esforços internos e as tensões nas seções transversais dessa barra.

Mas, de vez em quando, um exercício pode te pedir para calcular as tensões nessa barra em uma outra seção, que não seja transversal:

Como que ficam os esforços internos e as tensões nesse caso?

Esforços Internos no Plano Oblíquo

Vamos começar avaliando os esforços internos.

Como sempre, a força normal N é normal (perpendicular) à seção e a força cortante V é paralela à seção.

Para o equilíbrio da peça, a resultante dessas duas forças N e V tem que ser igual à força F :

Ao fazer esse desenho acima, você deve tomar muito cuidado para encontrar o valor certo do ângulo θ com base no ângulo do desenho original do exercício.

Aqui vai uma dica de um bom jeito de pensar em relação a esses ângulos:

Cálculo dos Esforços Internos

A partir desse ângulo θ entre as forças...

...podemos calcular os esforços internos N e V em função da força resultante F :

N = F * cos ⁡ θ     &     V = F * s e n   θ

Mas atenção! Se o seu ângulo θ estiver em outra posição, essas relações trigonométricas vão ser diferentes:

Cálculo da Área da Seção Oblíqua

Calculados os esforços internos N e V , podemos calcular a tensão normal média σ = N / A e a tensão cisalhante média τ = V / A nessa seção.

Mas para usar essas fórmulas, precisamos antes calcular a área A da seção que estamos estudando, que não é a área A S T da seção transversal.

Para encontrar A , calculamos primeiro a área A S T usando os dados fornecidos pelo exercício.

Em seguida, tratamos as áreas como se fossem os lados de um triângulo para podermos fazer relações trigonométricas entre elas:

E assim encontramos a área A da seção que estamos estudando em função de A S T .

Como você pode ver, mais uma vez a relação trigonométrica é diferente dependendo da posição de θ no seu desenho.

Cálculo das Tensões

Depois de já ter:

  • Desenhado os esforços internos N e V na seção oblíqua;
  • Usado relações trigonométricas para encontrar N e V em função da força externa F ;
  • Calculado a área A S T da seção transversal da barra;
  • E usado uma relação trigonométrica para encontrar a área A da seção oblíqua em relação à área A S T da seção transversal.

Só vai faltar aplicar as fórmulas das tensões normal e cisalhante médias:

σ = N A     &     τ = V A

E assim você vai ter resolvido seu exercício.

Observação

Alguns exercícios podem pedir que você calcule o ângulo θ para que σ ou τ tenham seus valores máximos.

Para resolver esses exercícios, é bom se lembrar um pouco de cálculo.

Mais especificamente, se lembrar de que os máximos e os mínimos de uma função ocorrem nos pontos em que a sua derivada é igual a zero.

Ou seja, para τ , por exemplo, temos que:

τ   é máximo quando   d τ d θ = 0

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Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.46.

Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angulada de 60 ° . Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média suportada no plano da solda.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A peça está sendo tracionada por uma força F = 8   k N e possui uma seção transversal com área A S T de dimensões 25   m m   ×   30   m m .

O exercício quer que a gente avalie a tensão normal média σ = N / A e a tensão cisalhante média τ = V / A em uma seção angulada θ = 60 ° em relação à horizontal.

Para calcular essas tensões, vamos ter que:

  • Fazer uma análise de esforços internos nessa seção inclinada para encontrar a força normal N e a força cortante V ;
  • Observar a geometria da peça para encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Passo 2

Vamos começar pela análise de esforços internos na seção inclinada.

Para o equilíbrio das peças, a resultante das forças internas N e V no plano da solda deve ser igual à força F :

Observando essa imagem, tiramos que:

N = F * s e n   θ     &     V = F * c o s   θ

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Observando a geometria da peça, vemos que A = A S T / s e n   θ :

Passo 4

Agora que A , N e V foram encontrados, podemos aplicar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média:

σ = N A

&

τ = V A

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos:

σ = F * s e n   θ A S T s e n   θ

&

τ = F * c o s   θ A S T s e n   θ

Reorganizando essas expressões:

σ = F A S T s e n 2 θ

&

τ = F A S T s e n θ c o s θ

Se quiséssemos só o resultado literal, pararíamos aqui.

Como precisamos dos valores numéricos de σ e τ , vamos substituir os valores de F , A S T e θ :

  • F = 8   k N = 8000   N ;
  • A S T =   25   m m   ×   30   m m = 750   m m 2 ;
  • θ = 60 °

Sendo assim, temos:

σ = 8000   N 750   m m 2 s e n 2 60 °

&

τ = 8000   N 750   m m 2 s e n ( 60 ° ) c o s ( 60 ° )

N / m m 2 é a mesma coisa que M P a , então os resultados desses cálculos vão sair em M P a .

Sabendo que s e n 60 ° = 3 / 2 e c o s 60 ° = 1 / 2 , podemos calcular essas equações, chegando às respostas:

Resposta

σ = 8   M P a

&

τ = 4,62   M P a

Exercício Resolvido #2

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 21-2.

Duas peças de madeira de seção retangular 80   m m   ×   140   m m são coladas uma à outra em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura. Calcular as tensões na cola para P = 16   k N e para:

a ) θ = 30 ° ;

b ) θ = 45 ° ;

c ) θ = 60 ° .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

As peças estão sendo tracionadas por uma força P = 16   k N e possuem uma seção transversal com área A S T de dimensões 80   m m   ×   140   m m .

O exercício quer que a gente avalie a tensão normal média σ = N / A e a tensão cisalhante média τ = V / A em uma seção angulada θ em relação à horizontal.

Para calcular essas tensões, vamos ter que:

  • Fazer uma análise de esforços internos nessa seção inclinada para encontrar a força normal N e a força cortante V ;
  • Observar a geometria da peça para encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Feito isso, vamos ter que calcular os resultados para os diferentes valores de θ : 30 ° , 45 ° e 60 ° .

Passo 2

Vamos começar pela análise de esforços internos na seção inclinada.

Para o equilíbrio das peças, a resultante das forças internas N e V no plano da cola deve ser igual à força P :

Observando essa imagem, tiramos que:

N = P * s e n   θ     &     V = P * c o s   θ

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Observando a geometria da peça, vemos que A = A S T / s e n   θ :

Passo 4

Agora que A , N e V foram encontrados, podemos aplicar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média:

σ = N A

&

τ = V A

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos:

σ = P * s e n   θ A S T s e n   θ

&

τ = P * c o s   θ A S T s e n   θ

Reorganizando essas expressões:

σ = P A S T s e n 2 θ

&

τ = P A S T s e n θ c o s θ

Se quiséssemos só o resultado literal, pararíamos aqui.

Para calcular os valores numéricos, vamos substituir P = 16   k N = 16000   N e A S T =   80   m m   ×   140   m m = 11200   m m 2 :

σ = 16000   N 11200   m m 2 s e n 2 θ

&

τ = 16000   N 11200   m m 2 s e n θ c o s θ

Fazendo a divisão ( 16000   N ) / ( 11200   m m 2 ) e sabendo que N / m m 2 = M P a , temos:

σ = 1,42857   M P a s e n 2 θ

&

τ = 1,42857   M P a s e n θ c o s θ

Como 1,42857 é um número pequeno, preferimos apresentar os resultados em k P a .

Fazendo isso, obtemos que:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 θ

&

τ = 1428,57   k P a s e n θ c o s θ

Agora, nos próximos três passos, vamos calcular os resultados para os três diferentes valores de θ .

Passo 5

Para o item a ) θ = 30 ° , temos:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 ( 30 ° )

&

τ = 1428,57   k P a s e n ( 30 ° ) c o s ( 30 ° )

Sabendo que s e n 30 ° = 1 / 2 e c o s 30 ° = 3 / 2 , podemos calcular essas equações, obtendo os resultados:

σ = 357,1   k P a

&

τ = 618,6   k P a

Passo 6

Para o item b ) θ = 45 ° , temos:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 ( 45 ° )

&

τ = 1428,57   k P a s e n ( 45 ° ) c o s ( 45 ° )

Aqui, uma coisa curiosa acontece.

Como s e n 45 ° = c o s 45 ° = 2 / 2 , as duas tensões vão obter o mesmo resultado:

σ = τ = 714,3   k P a

Se formos prestar atenção, esse resultado equivale a 1428,57   k P a dividido por 2 .

Passo 7

Finalmente, para o item c ) θ = 60 ° , temos:

σ = 1428,57   k P a s e n 2 ( 60 ° )

&

τ = 1428,57   k P a s e n ( 60 ° ) c o s ( 60 ° )

Sabendo que s e n 60 ° = 3 / 2 e c o s 60 ° = 1 / 2 , podemos calcular essas equações, obtendo os resultados:

σ = 1071,4   k P a

&

τ = 618,6   k P a

E assim temos todos os resultados para responder a questão:

Resposta

a ) σ = 357,1   k P a , τ = 618,6   k P a ;

b ) σ = τ = 714,3   k P a ;

c ) σ = 1071,4   k P a , τ = 618,6   k P a .

Exercício Resolvido #3

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 23-8.

Duas peças de madeira de seção 5   c m   ×   5   c m são coladas na seção inclinada A B como mostra a figura.

Calcular o valor máximo admissível da carga P , axial de compressão, dadas as tensões admissíveis na cola de 9,0   M P a à compressão e 1,8   M P a ao cisalhamento.

Dica do Expert: s e n   15 ° = 0,259 e c o s   15 ° = 0,966 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nós precisamos descobrir qual é a máxima carga P de compressão nas peças tal que as tensões na cola não ultrapassem os seus valores admissíveis:

  • 9,0   M P a para a tensão normal σ ;
  • E 1,8   M P a para a tensão cisalhante τ .

E como podemos fazer isso?

Vamos pensar...

Cada carga P vai gerar uma certa força normal N e uma certa força cortante V na seção inclinada da cola:

Além disso, a seção inclinada da cola possui uma área A que é diferente da área A S T de 5   c m   ×   5   c m da seção transversal das peças de madeira:

Se encontrarmos as forças N e V , em função da carga P , e a área A da seção da cola, podemos usar as fórmulas das tensões normal média σ e cisalhante média τ :

σ = N A     &     τ = V A

Para encontrar as tensões na seção da cola em função da carga P .

A partir daí, podemos descobrir qual é a carga P que gera uma tensão normal σ = 9,0   M P a e qual é a carga P que gera uma tensão cisalhante τ = 1,8   M P a .

O menor entre esses dois valores de P vai ser a nossa resposta, já que qualquer valor maior geraria pelo menos uma tensão acima da admissível.

Passo 2

Então primeiro, vamos observar os esforços internos na seção da cola para encontrar as forças normal N e cortante V em função da carga P :

Para o equilíbrio dessa peça, a resultante das forças internas N e V tem que ter a mesma intensidade da força externa P e sentido oposto:

Como 15 ° é o ângulo entre a horizontal (onde a carga P atua) e a seção inclinada (onde a cortante V atua), podemos desenhar esse ângulo no diagrama de forças e usar seno e cosseno para obtermos que:

N = P * s e n   15 °         &         V = P * c o s   15 °

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar a área A da seção da cola.

Se observamos a geometria das peças, conseguimos relacionar a área A dessa seção inclinada com a área A S T = 5   c m   ×   5   c m da seção transversal das peças:

Como seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa:

s e n   15 ° = A S T A

Isolando a área A , temos que:

A = A S T s e n   15 °

Passo 4

Agora que N , V e A foram encontrados para a seção da cola, podemos usar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média para essa seção:

σ = N A     &     τ = V A

Substituindo os valores encontrados nos últimos dois passos:

σ = P * s e n   15 ° A S T s e n   15 °         &         τ = P * c o s   15 ° A S T s e n   15 °

Passando o s e n   15 ° que está dividindo a área A S T para cima, essas tensões ficam assim:

σ = P A S T s e n 2 15 °

&

τ = P A S T s e n   15 ° c o s   15 °

Passo 5

Para descobrir qual é o valor de P que gera uma tensão normal de σ = 9,0   M P a na seção da cola, partimos da expressão que encontramos no passo anterior:

σ = P A S T s e n 2 15 °

Isolamos P :

P = σ A S T s e n 2 15 °

E substituímos os valores de σ , s e n   15 ° , e A S T = 5   c m   ×   5   c m = 25   c m 2 = 2500   m m 2 :

P = 9,0   M P a 2500   m m 2 0,259 2

Lembra aí! M P a = N / m m 2 , então o resultado desses cálculos vai sair em newtons!

Calculando tudo, obtemos que:

P = 333415   N

Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em k N :

P = 333   k N

Ou seja, a tensão normal admissível permite cargas P de até 333   k N .

Passo 6

Para descobrir o valor de P que gera uma tensão cisalhante τ = 1,8   M P a na seção da cola, partimos da outra expressão que encontramos no passo 4:

τ = P A S T s e n   15 ° c o s   15 °