Tensões em Planos Oblíquos

Teoria Completa

Introdução

Sempre que vemos uma barra sob carregamento axial (tração ou compressão pura), o que nós fazemos é avaliar os esforços internos e as tensões nas seções transversais dessa barra.

Mas, de vez em quando, um exercício pode te pedir para calcular as tensões nessa barra em uma outra seção, que não seja transversal:

Como que ficam os esforços internos e as tensões nesse caso?

Esforços Internos no Plano Oblíquo

Vamos começar avaliando os esforços internos.

Como sempre, a força normal N é normal (perpendicular) à seção e a força cortante V é paralela à seção.

Para o equilíbrio da peça, a resultante dessas duas forças N e V tem que ser igual à força F :

Ao fazer esse desenho acima, você deve tomar muito cuidado para encontrar o valor certo do ângulo θ com base no ângulo do desenho original do exercício.

Aqui vai uma dica de um bom jeito de pensar em relação a esses ângulos:

Cálculo dos Esforços Internos

A partir desse ângulo θ entre as forças...

...podemos calcular os esforços internos N e V em função da força resultante F :

N = F * cos ⁡ θ     &     V = F * s e n   θ

Mas atenção! Se o seu ângulo θ estiver em outra posição, essas relações trigonométricas vão ser diferentes:

Cálculo da Área da Seção Oblíqua

Calculados os esforços internos N e V , podemos calcular a tensão normal média σ = N / A e a tensão cisalhante média τ = V / A nessa seção.

Mas para usar essas fórmulas, precisamos antes calcular a área A da seção que estamos estudando, que não é a área A S T da seção transversal.

Para encontrar A , calculamos primeiro a área A S T usando os dados fornecidos pelo exercício.

Em seguida, tratamos as áreas como se fossem os lados de um triângulo para podermos fazer relações trigonométricas entre elas:

E assim encontramos a área A da seção que estamos estudando em função de A S T .

Como você pode ver, mais uma vez a relação trigonométrica é diferente dependendo da posição de θ no seu desenho.

Cálculo das Tensões

Depois de já ter:

  • Desenhado os esforços internos N e V na seção oblíqua;
  • Usado relações trigonométricas para encontrar N e V em função da força externa F ;
  • Calculado a área A S T da seção transversal da barra;
  • E usado uma relação trigonométrica para encontrar a área A da seção oblíqua em relação à área A S T da seção transversal.

Só vai faltar aplicar as fórmulas das tensões normal e cisalhante médias:

σ = N A     &     τ = V A

E assim você vai ter resolvido seu exercício.

Observação

Alguns exercícios podem pedir que você calcule o ângulo θ para que σ ou τ tenham seus valores máximos.

Para resolver esses exercícios, é bom se lembrar um pouco de cálculo.

Mais especificamente, se lembrar de que os máximos e os mínimos de uma função ocorrem nos pontos em que a sua derivada é igual a zero.

Ou seja, para τ , por exemplo, temos que:

τ   é máximo quando   d τ d θ = 0

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Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 27-1.46.

Os dois elementos de aço estão interligados por uma solda de topo angulada de 60 ° . Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média suportada no plano da solda.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A peça está sendo tracionada por uma força F = 8   k N e possui uma seção transversal com área A S T de dimensões 25   m m   ×   30   m m .

O exercício quer que a gente avalie a tensão normal média σ = N / A e a tensão cisalhante média τ = V / A em uma seção angulada θ = 60 ° em relação à horizontal.

Para calcular essas tensões, vamos ter que:

  • Fazer uma análise de esforços internos nessa seção inclinada para encontrar a força normal N e a força cortante V ;
  • Observar a geometria da peça para encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Passo 2

Vamos começar pela análise de esforços internos na seção inclinada.

Para o equilíbrio das peças, a resultante das forças internas N e V no plano da solda deve ser igual à força F :

Observando essa imagem, tiramos que:

N = F * s e n   θ     &     V = F * c o s   θ

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Observando a geometria da peça, vemos que A = A S T / s e n   θ :

Passo 4

Agora que A , N e V foram encontrados, podemos aplicar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média:

σ = N A

&

τ = V A

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos:

σ = F * s e n   θ A S T s e n   θ

&

τ = F * c o s   θ A S T s e n   θ

Reorganizando essas expressões:

σ = F A S T s e n 2 θ

&

τ = F A S T s e n θ c o s θ

Se quiséssemos só o resultado literal, pararíamos aqui.

Como precisamos dos valores numéricos de σ e τ , vamos substituir os valores de F , A S T e θ :

  • F = 8   k N = 8000   N ;
  • A S T =   25   m m   ×   30   m m = 750   m m 2 ;
  • θ = 60 °

Sendo assim, temos:

σ = 8000   N 750   m m 2 s e n 2 60 °

&

τ = 8000   N 750   m m 2 s e n ( 60 ° ) c o s ( 60 ° )

N / m m 2 é a mesma coisa que M P a , então os resultados desses cálculos vão sair em M P a .

Sabendo que s e n 60 ° = 3 / 2 e c o s 60 ° = 1 / 2 , podemos calcular essas equações, chegando às respostas:

Resposta

σ = 8   M P a

&

τ = 4,62   M P a

Exercício Resolvido #2

Prof. João Chafi Hallack et al., Apostila de Resistência dos Materiais 1, Universidade Federal de Juiz de Fora, Março de 2015, pp. 21-2.

Duas peças de madeira de seção retangular 80   m m   ×   140   m m são coladas uma à outra em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura. Calcular as tensões na cola para P = 16   k N e para:

a ) θ = 30 ° ;

b ) θ = 45 ° ;

c ) θ = 60 ° .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

As peças estão sendo tracionadas por uma força P = 16   k N e possuem uma seção transversal com área A S T de dimensões 80   m m   ×   140   m m .

O exercício quer que a gente avalie a tensão normal média σ = N / A e a tensão cisalhante média τ = V / A em uma seção angulada θ em relação à horizontal.

Para calcular essas tensões, vamos ter que:

  • Fazer uma análise de esforços internos nessa seção inclinada para encontrar a força normal N e a força cortante V ;
  • Observar a geometria da peça para encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Feito isso, vamos ter que calcular os resultados para os diferentes valores de θ : 30 ° , 45 ° e 60 ° .

Passo 2

Vamos começar pela análise de esforços internos na seção inclinada.

Para o equilíbrio das peças, a resultante das forças internas N e V no plano da cola deve ser igual à força P :

Observando essa imagem, tiramos que:

N = P * s e n   θ     &     V = P * c o s   θ

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área A da seção inclinada em função da área A S T da seção transversal.

Observando a geometria da peça, vemos que A = A S T / s e n   θ :

Passo 4

Agora que A , N e V foram encontrados, podemos aplicar as fórmulas das tensões normal média e cisalhante média:

σ = N A

&

τ = V A

Substituindo os valores encontrados nos passos anteriores, temos:

σ = P * s e n   θ A S T s e n   θ

&

τ = P * c o s   θ A S T s e n   θ

Reorganizando essas expressões:

σ = P A S T s e n 2 θ

&

τ = P A S T s e n θ c o s θ