Concentradores de Tensões em Torção

Teoria Completa

Introdução

Vamos dizer que nós temos que calcular a tensão de cisalhamento máxima τ m á x no eixo abaixo:

Nesse eixo, nós temos:

  • Uma seção inicial de diâmetro D ;
  • Uma seção final de diâmetro d ;
  • E uma redução de seção rápida entre essas seções, de acordo com o adoçamento de raio r .

Para calcular a tensão τ m á x nesse eixo, devemos, a princípio, aplicar a fórmula da torção τ = T c / J para a seção final, de diâmetro menor.

Mas na prática, por causa da redução rápida de seção sofrida por esse eixo, a tensão τ m á x vai ser ainda maior que T c / J para a seção de diâmetro menor.

Esse é o efeito que nós chamamos de concentração de tensões.

Então nesse caso...

Como podemos calcular τ m á x ?

Fórmula da Torção com Concentrador de Tensões

A resposta está em calcular τ m á x levando em conta o efeito da concentração de tensões através de um coeficiente K :

τ m á x = K T c J

E, para saber o valor desse coeficiente de concentração de tensões K , nós devemos recorrer a um gráfico como o da imagem abaixo:

Uso do Gráfico

Para utilizar esse gráfico, devemos primeiro identificar o valor das dimensões do eixo no esquema na parte superior do gráfico.

Feito isso, devemos identificar qual curva do gráfico vamos usar. (Nesse caso, precisamos calcular a razão entre os diâmetros D / d para fazer a escolha dessa curva.)

E, por último, devemos calcular o valor da razão no eixo horizontal do gráfico. (Nesse caso, a razão entre o raio de adoçamento e o diâmetro menor r / d .)

Feito isso, podemos inserir o valor dessa razão no gráfico e identificar o coeficiente K correspondente, como no exemplo abaixo:

Outros Casos

Além dos casos onde há uma redução rápida de seção, outros casos em que ocorre uma concentração de tensões em problemas de torção são:

  • Em acoplamentos entre dois eixos;
  • E em rasgos de chaveta em eixos para o acoplamento de engrenagens ou polias.

Apesar desses outros casos existirem, os exercícios focam sempre no caso principal, que é a redução rápida de seção.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 187 & 191-3.85.

O eixo de seção variável da figura gira a 450   r p m . Sabendo que r = 5,08   m m , determine a potência máxima que pode ser transmitida sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 51,7   M P a .

Utilize o gráfico abaixo para a determinação do coeficiente de concentração de tensão K :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo gira a uma frequência f = 450   r p m , transmitindo uma potência desconhecida P , de forma a suportar um torque T :

T = P 2 π f

Ele possui um seção maior de diâmetro D = 150   m m e uma seção menor de diâmetro d = 125   m m , e, consequentemente, raio c = d / 2 = 62,5   m m .

Além disso, existe um adoçamento de raio r = 5,08   m m entre essas seções.

Nesse adoçamento, haverá uma concentrações de tensões na peça de tal forma que a tensão de cisalhamento máxima na peça τ m á x vai ser:

τ m á x = K T c J

Onde:

  • K é o coeficiente de concentração de tensão, que deve ser encontrado a partir do gráfico fornecido;
  • & c e J são o raio e o momento polar de inércia da seção de diâmetro menor, uma vez que ela vai ter a razão c / J maior, e, consequentemente, a tensão τ m á x maior;

E o que é que o exercício quer?

Ele quer a potência máxima P que pode ser transmitida pelo eixo de tal forma que a tensão cisalhante máxima na peça τ m á x não ultrapasse a admissível τ a d m = 51,7   M P a :

τ m á x ≤ τ a d m

Desenvolvendo a condição acima, é possível isolar P e encontrar seu valor máximo.

Passo 2

Então vamos pegar a nossa condição de projeto:

τ m á x ≤ τ a d m

E desenvolvê-la.

Primeiro, temos que, devido à concentração de tensões, τ m á x = K * T c / J .

Dessa forma, a nossa condição de projeto fica assim:

K T c J ≤ τ a d m

Em seguida, podemos aplicar a fórmula do torque T em função da potência P transmitida pelo eixo, deixando a condição assim:

K P 2 π f c J ≤ τ a d m

E depois, podemos aplicar a fórmula do momento polar de inércia J para uma seção transversal maciça e circular de raio c , deixando a condição assim:

K P 2 π f c π 2 c 4 ≤ τ a d m

Arrumando tudo, temos que:

K P π 2 f c 3 ≤ τ a d m

E, isolando a potência P , encontramos que:

P ≤ τ a d m π 2 f c 3 K

Agora, antes de podermos calcular essa expressão, temos que conhecer o coeficiente de concentração de tensão K .

Então vamos atrás dele.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente K , precisamos recorrer ao seu gráfico:

Do gráfico, vemos que é necessário calcular as razões r / d e D / d .

Calculando essas razões, encontramos que:

r d = 5,08   m m 125   m m = 0,04

&

D d = 150   m m 125   m m = 1,2

Ao tentar inserir essas razões no gráfico, percebemos que não existe uma curva D / d = 1,2 .

Então vamos usar as curvas mais próximas ( D / d = 1,25 e D / d = 1,111 ) e usar para K um valor aproximado entre essas curvas.

Fazendo isso, encontramos que K ≅ 1,55 :

Passo 4

Agora, podemos voltar para a expressão que tínhamos:

P ≤ τ a d m π 2 f c 3 K

E substituir os valores:

  • τ a d m = 51,7   M P a = 51,7   N / m m 2 ;
  • f = 450   r p m = 450 * 1 / 60   s - 1 ;
  • c = 62,5   m m