Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

Teoria Completa

Introdução

Vamos dizer que seu professor/sua professora chegou em aula e lançou o seguinte desafio:

Determine as reações em A e em C no eixo abaixo, sendo que os trechos A B e B C são feitos de materiais diferentes e possuem comprimentos e diâmetros diferentes:

Aí a gente pensa...

Poxa, se tem um torque no sentido anti-horário aplicado em B , as paredes em A e em C vão reagir com torques no sentido horário para manter a peça toda em equilíbrio.

Pensando nisso e usando a regra da mão direita, a gente consegue fazer o diagrama de corpo livre abaixo desse eixo:

E aí aqui a gente encontra um problema.

Nós temos dois torques desconhecidos que queremos encontrar: T A e T C .

Mas só temos uma equação de equilíbrio: o equilíbrio de torques ( ∑ T = 0 ).

Ele nos diz que T A + T C = T B , mas isso não é suficiente para que a gente encontre os dois torques desconhecidos.

Ou seja, esse é um problema estaticamente indeterminado: os métodos da estática (diagrama de corpo livre e equações de equilíbrio) não são suficientes para resolver ele.

Então...

Como é que a gente pode fazer para encontrar as reações nesse caso?

Equações de Compatibilidade

A solução vai ser complementar a equação do equilíbrio de torques com uma equação de compatibilidade.

Um equação de compatibilidade é quando a gente relaciona as deformações nas peças de forma a garantir que elas respeitem a geometria do lugar onde elas estão.

Por exemplo, no nosso caso, nós temos duas paredes em A e em C que nem andam nem giram: elas estão 100 % fixas.

Então se a gente definir ϕ como o ângulo de torção entre duas seções de um eixo:

Vamos ter que o ângulo de torção entre as paredes A e C tem que ser igual à zero:

ϕ A / C = 0

Agora, o nosso eixo A B C é feito dos trechos A B e B C .

Então o ângulo de torção entre A e C é igual a soma dos ângulos de torção de cada trecho:

ϕ A / C = ϕ A / B + ϕ B / C = 0

Essa é a nossa equação de compatibilidade!

Se conseguimos descrever os ângulos de torção ϕ A / B e ϕ B / C no nosso eixo em função dos torques que atuam nele, vamos ter uma segunda equação relacionando os torques no eixo.

Juntando essa segunda equação com a equação vinda do equilíbrio de torques, vamos conseguir determinar os torques T A e T C desconhecidos!

Fórmula do Ângulo de Torção

A boa notícia é que existe uma fórmula que descreve os ângulos de torção ϕ em um eixo (ou em um trecho de um eixo) em função dos torques que atuam nele!

É a fórmula do ângulo de torção:

ϕ = T L G J

Onde:

  • ϕ é o ângulo de torção do trecho em radianos;
  • T é o torque interno no trecho, e pode ser encontrado como uma função dos torques aplicados no eixo através de uma análise dos esforços internos;
  • L é o comprimento do trecho;
  • G é o módulo de elasticidade transversal do material de que é feito o trecho e é normalmente dado em G P a = k N / m m 2 ;
  • & J é o momento polar de inércia da seção transversal do trecho e é calculado usando as fórmulas que já vimos quando estudamos a Fórmula da Torção.

Então, por exemplo, aplicando essa fórmula para os trechos A B e B C do nosso eixo e substituindo isso na equação de compatibilidade ϕ A / B + ϕ B / C = 0 , vamos ter que:

T A B L A B G A B J A B + T B C L B C G B C J A B = 0

Conversão para Graus

Caso seja necessário fazer a conversão do ângulo de torção ϕ , calculado pela sua fórmula em radianos, para graus ( ° ), basta lembrar que π   r a d equivale à 180 ° , de tal forma que:

1   r a d = 180 ° π

Semelhanças com a Variação de Comprimento

Uma das formas de decorar essa fórmula ϕ = T L / G J é pensar nas semelhanças entre ela e a fórmula da variação de comprimento δ lá de carga axial:

Além disso, semelhanças também existem na forma como as equações de compatibilidade são escritas.

Se um exercício de carga axial com uma folga de 2   m m entre duas peças A B e C D tinha uma equação de compatibilidade:

δ A B + δ C D = 2   m m

Um exercício equivalente de torção, mas com uma folga de 2 ° , vai ter uma equação de compatibilidade:

ϕ A B + ϕ C D = 2 ° ≅ 0,035   r a d

Um Comentário Final

Caso você tenha um eixo com um torque distribuído ou com uma seção transversal que varia continuamente (como um cone, por exemplo), você deve usar a fórmula:

ϕ = ∫ 0 L T ( x ) J x G ( x )   d x

Que é a fórmula geral do ângulo de torção.

Em todos os outros casos, o ângulo de torção ϕ de um eixo pode ser calculado somando os ângulos de torção ϕ = T L / G J de cada um dos seus trechos.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria.

Um eixo maciço de aço ( G = 75   G P a ) possui um comprimento L = 120   m m e um raio c = 8   m m . Ele está submetido em suas extremidades a um torque T = 160   N * m . Determine o valor do ângulo de torção ϕ nesse eixo devido ao torque aplicado.

Forneça o resultado em graus ( ° ).

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo possui um módulo de elasticidade transversal G = 75   G P a , um comprimento L = 120   m m , um raio c = 8   m m e está submetido a um torque T = 160   N * m .

Além disso, ele é maciço, de tal forma que o seu momento de inércia polar J vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o ângulo de torção ϕ nesse eixo, que deve ser calculado através de sua fórmula:

ϕ = T L G J

Passo 2

Então para calcular o ângulo de torção ϕ no eixo, aplicamos a sua fórmula:

ϕ = T L G J

De início, podemos substituir que J = π / 2 c 4 .

Assim temos que:

ϕ = T L G π 2 c 4

Arrumando essa expressão, ela fica assim:

ϕ = 2 T L G π c 4

Agora, podemos substituir os valores:

  • T = 160   N * m = 160   k N * m m ;
  • L = 120   m m ;
  • G = 75   G P a = 75   k N / m m 2 ;
  • & c = 8   m m ,

Para encontrar que:

ϕ = 2 160   k N * m m 120   m m 75   k N / m m 2 π 8   m m 4

O que dá:

ϕ = 0,0397887   r a d

Passo 3

Agora, esse resultado que encontramos a partir da fórmula do ângulo de torção está em radianos.

Para responder o nosso exercício, precisamos converter esse resultado para graus.

Para tanto, podemos nos lembrar que:

π   r a d = 180 °

O que significa que:

r a d = 180 ° π

Usando isso, o nosso resultado vai ficar assim:

ϕ = 0,0397887   180 ° π

Calculando tudo, encontramos a nossa resposta final:

Resposta

ϕ = 2,28 °

Exercício Resolvido #2

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 179-3.36.

Os torques mostrados são aplicados nas polias A , B e C . Sabendo que ambos os eixos têm seção transversal cheia e são feitos de latão ( G = 39   G P a ), determine o ângulo de torção entre ( a ) A e B e ( b ) A e C .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo A B C é composto pelos segmentos:

  • A B , de comprimento L A B = 1,2   m , diâmetro d A B = 30   m m , e, consequentemente, raio c A B = d A B / 2 = 15   m m ;
  • & B C , de comprimento L B C = 1,8   m , diâmetro d B C = 40   m m , e, consequentemente, raio c B C = d B C / 2 = 20   m m .

Ambos os segmentos são feitos de latão, com um módulo de elasticidade transversal G = 39   G P a .

Além disso, eixo é carregado com torques externos nos seus pontos A , B e C , como mostra o seu DCL (diagrama de corpo livre) abaixo, feito utilizando a regra da mão direita:

A partir desse DCL, é possível fazer uma análise dos esforços internos para descobrir o valor dos torques internos T A B e T B C nos segmentos A B e B C do eixo, respectivamente.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o ângulo de torção ϕ entre os pontos A e B ( ϕ A / B ) e entre os pontos A e C ( ϕ A / C ).

Para calcular ϕ A / B , que é o ângulo de torção do segmento A B do eixo, podemos usar a fórmula do ângulo de torção:

ϕ = T L G J