Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

Teoria Completa

Introdução

Vamos dizer que seu professor/sua professora chegou em aula e lançou o seguinte desafio:

Determine as reações em A e em C no eixo abaixo, sendo que os trechos A B e B C são feitos de materiais diferentes e possuem comprimentos e diâmetros diferentes:

Aí a gente pensa...

Poxa, se tem um torque no sentido anti-horário aplicado em B , as paredes em A e em C vão reagir com torques no sentido horário para manter a peça toda em equilíbrio.

Pensando nisso e usando a regra da mão direita, a gente consegue fazer o diagrama de corpo livre abaixo desse eixo:

E aí aqui a gente encontra um problema.

Nós temos dois torques desconhecidos que queremos encontrar: T A e T C .

Mas só temos uma equação de equilíbrio: o equilíbrio de torques ( ∑ T = 0 ).

Ele nos diz que T A + T C = T B , mas isso não é suficiente para que a gente encontre os dois torques desconhecidos.

Ou seja, esse é um problema estaticamente indeterminado: os métodos da estática (diagrama de corpo livre e equações de equilíbrio) não são suficientes para resolver ele.

Então...

Como é que a gente pode fazer para encontrar as reações nesse caso?

A solução disso se chama equação de compatibilidade. E vai utilizar o conceito de ângulo de torção!

Ângulo de torção

A gente pode definir ϕ como o ângulo de torção entre duas seções de um eixo:

A boa notícia é que existe uma fórmula que descreve os ângulos de torção ϕ em um eixo (ou em um trecho de um eixo) em função dos torques que atuam nele!

É a fórmula do ângulo de torção:

ϕ = T L G J

Onde:

  • ϕ é o ângulo de torção do trecho em radianos;
  • T é o torque interno no trecho, e pode ser encontrado como uma função dos torques aplicados no eixo através de uma análise dos esforços internos;
  • L é o comprimento do trecho;
  • G é o módulo de elasticidade transversal do material de que é feito o trecho e é normalmente dado em G P a = k N / m m 2 ;
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal do trecho e é calculado usando as fórmulas que já vimos quando estudamos a Fórmula da Torção.

Equação de compatibilidade

Vamos entender agora a solução do problema!!

Um equação de compatibilidade é quando a gente relaciona as deformações nas peças de forma a garantir que elas respeitem a geometria do lugar onde elas estão.

Por exemplo, no nosso caso, nós temos duas paredes em A e em C que nem andam nem giram: elas estão 100 % fixas.

Só que A e C são 100% fixos lembra disso? Então o ângulo de torção nesses pontos é zero!

Olha como na parede é realmente zero, enquanto um outro ϕ genérico é diferente de zero! Logo:

ϕ A = ϕ C = 0

Além disso, nós podemos dizer que o ângulo relativo entre os pontos A e C ( ϕ A / C ) é zero também!

  ϕ A / C = ϕ C - ϕ A = 0

Agora, o nosso eixo A B C é feito dos trechos A B e B C . Se a gente for visualizar o ângulo ϕ A / C vai ficar assim:

Nãoi mudou muita coisa né? Isso porque o ponto A tem ângulo de troção nula!

Show! Mas a gente pode fazer a mesma coisa para ϕ B / C vai ficar assim:

Então o ângulo de torção entre A e C é igual a soma dos ângulos de torção de cada trecho:

ϕ A / C = ϕ A / B + ϕ B / C = 0

Essa é a nossa equação de compatibilidade! A gente pode visualizar a equação como um todo da seguinte forma:

Olha como o ponto C rotacionou, enquanto os outros dois pontos permaneceram estáticos!

Se conseguimos descrever os ângulos de torção ϕ A / B e ϕ B / C no nosso eixo em função dos torques que atuam nele, vamos ter uma segunda equação relacionando os torques no eixo.

Juntando essa segunda equação com a equação vinda do equilíbrio de torques, vamos conseguir determinar os torques T A e T C desconhecidos!

Então, por exemplo, aplicando a fórmula do ângulo de torção para os trechos A B e B C do nosso eixo e substituindo isso na equação de compatibilidade ϕ A / B + ϕ B / C = 0 , vamos ter que:

T A B L A B G A B J A B + T B C L B C G B C J A B = 0

Exemplo

Vamos fazer um exercício então! Imagine que temos uma barra de aço engastada como na figura a seguir. Se um torque de 1 00   N . m for aplicado na extremidade livre da barra, qual será o ângulo de torção nos pontos A ,   B e no ponto médio C da barra? Sabe-se que a barra tem diâmetro igual a 12   m m .

A primeira coisa que a gente já pode responder é que o ângulo de torção é zero no ponto engastado A . Isso até mesmo se justifica pela equação já que L = 0

ϕ A = T × 0 G J = 0

Show! Essa foi fácil. Agora vamos ver para a extremidade livre, o ponto B onde L = 4   m . Visualmente vai ficar assim:

A gente tem a distância L = 4   m e o torque T = 10 0   N . m . G depende do material e para o aço vale G a ç o = 75   G P a e o momento polar de inércia para uma seção circular é calculado como:

J = π d 4 64

Para o nosso caso:

J = π 0,012 4 64

J = 1,02.10 - 9   m 4

Substituindo na equação nós vamos ter:

ϕ = T L G J

ϕ B = ( 100 ) ( 4 ) ( 75.10 9 ) ( 1,02.10 - 9 )

ϕ B = 5,23   r a d

E para o ponto C ? Pessoal, a única coisa que muda de B para C é o comprimento L que cai pela metade então podemos dizer que:

ϕ C = ϕ B 2

ϕ C = 5,23 2   r a d = 2,62   r a d

Repara que se existir apenas um torque então a variação segue um padrão linear!!

Conversão para Graus

Caso seja necessário fazer a conversão do ângulo de torção ϕ , calculado pela sua fórmula em radianos, para graus ( ° ), basta lembrar que π   r a d equivale à 180 ° , de tal forma que:

1   r a d = 180 ° π

Semelhanças com a Variação de Comprimento

Uma das formas de decorar essa fórmula ϕ = T L / G J é pensar nas semelhanças entre ela e a fórmula da variação de comprimento δ lá de carga axial:

Além disso, semelhanças também existem na forma como as equações de compatibilidade são escritas.

Se um exercício de carga axial com uma folga de 2   m m entre duas peças A B e C D tinha uma equação de compatibilidade:

δ A B + δ C D = 2   m m

Um exercício equivalente de torção, mas com uma folga de 2 ° , vai ter uma equação de compatibilidade:

ϕ A B + ϕ C D = 2 ° ≅ 0,035   r a d

Um Comentário Final

Caso você tenha um eixo com um torque distribuído ou com uma seção transversal que varia continuamente (como um cone, por exemplo), você deve usar a fórmula:

ϕ = ∫ 0 L T ( x ) J x G ( x )   d x

Que é a fórmula geral do ângulo de torção.

Em todos os outros casos, o ângulo de torção ϕ de um eixo pode ser calculado somando os ângulos de torção ϕ = T L / G J de cada um dos seus trechos.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria.

Um eixo maciço de aço ( G = 75   G P a ) possui um comprimento L = 120   m m e um raio c = 8   m m . Ele está submetido em suas extremidades a um torque T = 160   N * m . Determine o valor do ângulo de torção ϕ nesse eixo devido ao torque aplicado.

Forneça o resultado em graus ( ° ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo possui um módulo de elasticidade transversal G = 75   G P a , um comprimento L = 120   m m , um raio c = 8   m m e está submetido a um torque T = 160   N * m .

Além disso, ele é maciço, de tal forma que o seu momento de inércia polar J vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o ângulo de torção ϕ nesse eixo, que deve ser calculado através de sua fórmula:

ϕ = T L G J

Passo 2

Então para calcular o ângulo de torção ϕ no eixo, aplicamos a sua fórmula:

ϕ = T L G J

De início, podemos substituir que J = π / 2 c 4