Ângulo de Torção e Problemas Estaticamente Indeterminados

Teoria Completa

Introdução

Vamos dizer que seu professor/sua professora chegou em aula e lançou o seguinte desafio:

Determine as reações em A e em C no eixo abaixo, sendo que os trechos A B e B C são feitos de materiais diferentes e possuem comprimentos e diâmetros diferentes:

Aí a gente pensa...

Poxa, se tem um torque no sentido anti-horário aplicado em B , as paredes em A e em C vão reagir com torques no sentido horário para manter a peça toda em equilíbrio.

Pensando nisso e usando a regra da mão direita, a gente consegue fazer o diagrama de corpo livre abaixo desse eixo:

E aí aqui a gente encontra um problema.

Nós temos dois torques desconhecidos que queremos encontrar: T A e T C .

Mas só temos uma equação de equilíbrio: o equilíbrio de torques ( ∑ T = 0 ).

Ele nos diz que T A + T C = T B , mas isso não é suficiente para que a gente encontre os dois torques desconhecidos.

Ou seja, esse é um problema estaticamente indeterminado: os métodos da estática (diagrama de corpo livre e equações de equilíbrio) não são suficientes para resolver ele.

Então...

Como é que a gente pode fazer para encontrar as reações nesse caso?

A solução disso se chama equação de compatibilidade. E vai utilizar o conceito de ângulo de torção!

Ângulo de torção

A gente pode definir ϕ como o ângulo de torção entre duas seções de um eixo:

A boa notícia é que existe uma fórmula que descreve os ângulos de torção ϕ em um eixo (ou em um trecho de um eixo) em função dos torques que atuam nele!

É a fórmula do ângulo de torção:

ϕ = T L G J

Onde:

  • ϕ é o ângulo de torção do trecho em radianos;
  • T é o torque interno no trecho, e pode ser encontrado como uma função dos torques aplicados no eixo através de uma análise dos esforços internos;
  • L é o comprimento do trecho;
  • G é o módulo de elasticidade transversal do material de que é feito o trecho e é normalmente dado em G P a = k N / m m 2 ;
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal do trecho e é calculado usando as fórmulas que já vimos quando estudamos a Fórmula da Torção.

Equação de compatibilidade

Vamos entender agora a solução do problema!!

Um equação de compatibilidade é quando a gente relaciona as deformações nas peças de forma a garantir que elas respeitem a geometria do lugar onde elas estão.

Por exemplo, no nosso caso, nós temos duas paredes em A e em C que nem andam nem giram: elas estão 100 % fixas.

Só que A e C são 100% fixos lembra disso? Então o ângulo de torção nesses pontos é zero!

Olha como na parede é realmente zero, enquanto um outro ϕ genérico é diferente de zero! Logo:

ϕ A = ϕ C = 0

Além disso, nós podemos dizer que o ângulo relativo entre os pontos A e C ( ϕ A / C ) é zero também!

  ϕ A / C = ϕ C - ϕ A = 0

Agora, o nosso eixo A B C é feito dos trechos A B e B C . Se a gente for visualizar o ângulo ϕ A / C vai ficar assim:

Nãoi mudou muita coisa né? Isso porque o ponto A tem ângulo de troção nula!

Show! Mas a gente pode fazer a mesma coisa para ϕ B / C vai ficar assim:

Então o ângulo de torção entre A e C é igual a soma dos ângulos de torção de cada trecho:

ϕ A / C = ϕ A / B + ϕ B / C = 0

Essa é a nossa equação de compatibilidade! A gente pode visualizar a equação como um todo da seguinte forma:

Olha como o ponto C rotacionou, enquanto os outros dois pontos permaneceram estáticos!

Se conseguimos descrever os ângulos de torção ϕ A / B e ϕ B / C no nosso eixo em função dos torques que atuam nele, vamos ter uma segunda equação relacionando os torques no eixo.

Juntando essa segunda equação com a equação vinda do equilíbrio de torques, vamos conseguir determinar os torques T A e T C desconhecidos!

Então, por exemplo, aplicando a fórmula do ângulo de torção para os trechos A B e B C do nosso eixo e substituindo isso na equação de compatibilidade ϕ A / B + ϕ B / C = 0 , vamos ter que:

T A B L A B G A B J A B + T B C L B C G B C J A B = 0

Exemplo

Vamos fazer um exercício então! Imagine que temos uma barra de aço engastada como na figura a seguir. Se um torque de 1 00   N . m for aplicado na extremidade livre da barra, qual será o ângulo de torção nos pontos A ,   B e no ponto médio C da barra? Sabe-se que a barra tem diâmetro igual a 12   m m .

A primeira coisa que a gente já pode responder é que o ângulo de torção é zero no ponto engastado A . Isso até mesmo se justifica pela equação já que L = 0

ϕ A = T × 0 G J = 0

Show! Essa foi fácil. Agora vamos ver para a extremidade livre, o ponto B onde L = 4   m . Visualmente vai ficar assim:

A gente tem a distância L = 4   m e o torque T = 10 0   N . m . G depende do material e para o aço vale G a ç o = 75   G P a e o momento polar de inércia para uma seção circular é calculado como:

J = π d 4 64

Para o nosso caso:

J = π 0,012 4 64

J = 1,02.10 - 9   m 4

Substituindo na equação nós vamos ter:

ϕ = T L G J

ϕ B = ( 100 ) ( 4 ) ( 75.10 9 ) ( 1,02.10 - 9 )

ϕ B = 5,23   r a d

E para o ponto C ? Pessoal, a única coisa que muda de B para C é o comprimento L que cai pela metade então podemos dizer que:

ϕ C = ϕ B 2

ϕ C = 5,23 2   r a d = 2,62   r a d

Repara que se existir apenas um torque então a variação segue um padrão linear!!

Conversão para Graus

Caso seja necessário fazer a conversão do ângulo de torção ϕ , calculado pela sua fórmula em radianos, para graus ( ° ), basta lembrar que π   r a d equivale à 180 ° , de tal forma que:

1   r a d = 180 ° π

Semelhanças com a Variação de Comprimento

Uma das formas de decorar essa fórmula ϕ = T L / G J é pensar nas semelhanças entre ela e a fórmula da variação de comprimento δ lá de carga axial:

Além disso, semelhanças também existem na forma como as equações de compatibilidade são escritas.

Se um exercício de carga axial com uma folga de 2   m m entre duas peças A B e C D tinha uma equação de compatibilidade:

δ A B + δ C D = 2   m m

Um exercício equivalente de torção, mas com uma folga de 2 ° , vai ter uma equação de compatibilidade:

ϕ A B + ϕ C D = 2 ° ≅ 0,035   r a d

Um Comentário Final

Caso você tenha um eixo com um torque distribuído ou com uma seção transversal que varia continuamente (como um cone, por exemplo), você deve usar a fórmula:

ϕ = ∫ 0 L T ( x ) J x G ( x )   d x

Que é a fórmula geral do ângulo de torção.

Em todos os outros casos, o ângulo de torção ϕ de um eixo pode ser calculado somando os ângulos de torção ϕ = T L / G J de cada um dos seus trechos.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria.

Um eixo maciço de aço ( G = 75   G P a ) possui um comprimento L = 120   m m e um raio c = 8   m m . Ele está submetido em suas extremidades a um torque T = 160   N * m . Determine o valor do ângulo de torção ϕ nesse eixo devido ao torque aplicado.

Forneça o resultado em graus ( ° ).

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo possui um módulo de elasticidade transversal G = 75   G P a , um comprimento L = 120   m m , um raio c = 8   m m e está submetido a um torque T = 160   N * m .

Além disso, ele é maciço, de tal forma que o seu momento de inércia polar J vai ser dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o ângulo de torção ϕ nesse eixo, que deve ser calculado através de sua fórmula:

ϕ = T L G J

Passo 2

Então para calcular o ângulo de torção ϕ no eixo, aplicamos a sua fórmula:

ϕ = T L G J

De início, podemos substituir que J = π / 2 c 4 .

Assim temos que:

ϕ = T L G π 2 c 4

Arrumando essa expressão, ela fica assim:

ϕ = 2 T L G π c 4

Agora, podemos substituir os valores:

  • T = 160   N * m = 160   k N * m m ;
  • L = 120   m m ;
  • G = 75   G P a = 75   k N / m m 2 ;
  • & c = 8   m m ,

Para encontrar que:

ϕ = 2 160   k N * m m 120   m m 75   k N / m m 2 π 8   m m 4

O que dá:

ϕ = 0,0397887   r a d

Passo 3

Agora, esse resultado que encontramos a partir da fórmula do ângulo de torção está em radianos.

Para responder o nosso exercício, precisamos converter esse resultado para graus.

Para tanto, podemos nos lembrar que:

π   r a d = 180 °

O que significa que:

r a d = 180 ° π

Usando isso, o nosso resultado vai ficar assim:

ϕ = 0,0397887   180 ° π

Calculando tudo, encontramos a nossa resposta final:

Resposta

ϕ = 2,28 °

Exercício Resolvido #2

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 179-3.36.

Os torques mostrados são aplicados nas polias A , B e C . Sabendo que ambos os eixos têm seção transversal cheia e são feitos de latão ( G = 39   G P a ), determine o ângulo de torção entre ( a ) A e B e ( b ) A e C .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo A B C é composto pelos segmentos:

  • A B , de comprimento L A B = 1,2   m , diâmetro d A B = 30   m m , e, consequentemente, raio c A B = d A B / 2 = 15   m m ;
  • & B C , de comprimento L B C = 1,8   m , diâmetro d B C = 40   m m , e, consequentemente, raio c B C = d B C / 2 = 20   m m .

Ambos os segmentos são feitos de latão, com um módulo de elasticidade transversal G = 39   G P a .

Além disso, eixo é carregado com torques externos nos seus pontos A , B e C , como mostra o seu DCL (diagrama de corpo livre) abaixo, feito utilizando a regra da mão direita:

A partir desse DCL, é possível fazer uma análise dos esforços internos para descobrir o valor dos torques internos T A B e T B C nos segmentos A B e B C do eixo, respectivamente.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o ângulo de torção ϕ entre os pontos A e B ( ϕ A / B ) e entre os pontos A e C ( ϕ A / C ).

Para calcular ϕ A / B , que é o ângulo de torção do segmento A B do eixo, podemos usar a fórmula do ângulo de torção:

ϕ = T L G J

Além disso, também podemos usar essa fórmula para calcular o ângulo de torção ϕ do segmento B C do eixo, ϕ B / C .

Daí que, somando ϕ A / B com ϕ B / C , vamos encontrar ϕ A / C :

ϕ A / C = ϕ A / B + ϕ B / C

Passo 2

Vamos começar o exercício fazendo uma análise dos esforços internos na peça para identificar os valores dos torques internos nos trechos A B e B C , T A B e T B C .

Primeiro, fazemos seções dentro desses trechos e desenhamos os torques internos desconhecidos:

Nessa análise, desenhamos os torques internos em vermelho “saindo” da peça pois essa é a nossa convenção.

Caso os seus professores utilizem a convenção contrária (a de que os torques internos são positivos quando “entram” nas peças), você deve desenhar os torques internos entrando.

Em seguida, aplicamos o equilíbrio de torques ∑ T = 0 para cada trecho:

- 400 + T A B = 0       (Seções entre A e B)

&

- 400 + 1200 + T B C = 0       (Seções entre B e C)

Isolando os torques desconhecidos T A B e T B C nessas equações, encontramos que:

T A B = 400   N ∙ m

&

T B C = - 800   N ∙ m

Passo 3

Agora, podemos calcular os ângulos de torção dos segmentos A B e B C usando a fórmula:

ϕ = T L G J

Primeiro, temos que ambos esses segmentos possuem seções circulares maciças, e assim, tem um momento de inércia polar J = π / 2 c 4 .

Usando isso, temos que:

ϕ = T L G π 2 c 4

Arrumando tudo, isso fica assim:

ϕ = 2 T L π G c 4

Agora, aplicando essa expressão para o segmento A B , temos:

ϕ A / B = 2 T A B L A B π G c A B 4

Substituindo:

  • T A B = 400   N ∙ m ;
  • L A B = 1,2   m ;
  • G = 39   G P a = 39 * 10 9   N / m 2 ;
  • & c A B = 15   m m = 0,015   m ,
  • Encontramos que:

    ϕ A / B = 2 400   N ∙ m 1,2   m π 39 * 10 9   N / m 2 0,015   m 4

    O que nos dá a resposta do item ( a ) :

    ϕ A / B = 0,154772   r a d

    aplicando a expressão para o segmento B C , temos:

    ϕ B / C = 2 T B C L B C π G c B C 4

    Substituindo:

  • T B C = - 800   N ∙ m ;
  • L B C = 1,8   m ;
  • G = 39   G P a = 39 * 10 9   N / m 2 ;
  • & c B C = 20   m m = 0,02   m ,

Encontramos que:

ϕ B / C = - 0,146912   r a d

Passo 4

Encontrados ϕ A / B e ϕ B / C , podemos soma-los para encontrar ϕ A / C :

ϕ A / C = ϕ A / B + ϕ B / C

Substituindo os valores encontrados, temos que:

ϕ A / C = 0,154772   r a d - 0,146912   r a d

Calculando isso, encontramos a nossa resposta para o item ( b ) :

ϕ A / C = 0,007860   r a d

Passo 5

Apesar de que o exercício não especificou no enunciado que ele queria os resultados em graus ( ° ) e não em radianos ( r a d ), ele forneceu o gabarito final em graus.

A verdade é que muitos professores preferem resultados em graus, então precisamos saber fazer essa conversão.

Lembra aí...

Você pode converter radianos para graus usando a relação de que π   r a d equivale à 180 ° :

π   r a d = 180 °

Ou seja:

1   r a d = 180 ° π

Substituindo isso nas nossas respostas, vamos ter que:

a   ϕ A / B = 0,154772   180 ° π

&

b   ϕ A / C = 0,007860   180 ° π

Calculando tudo, encontramos as nossas respostas finais:

Resposta

a   ϕ A / B = 8,87 °

&

b   ϕ A / C = 0,450 °

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 153-5.73.

O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50   m m e está preso nas extremidades A e B . Se for submetido ao momento, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões A C e C B do eixo.

Dados: G a ç o = 75   G P a .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem um módulo de elasticidade transversal G = G a ç o = 75   G P a , um diâmetro d = 50   m m e, consequentemente, um raio c = d / 2 = 25   m m .

Ele está submetido a um torque T = 300   N ∙ m no ponto C .

E ele está preso nas extremidades A e B , que realizam torques de reação nele de forma a manter o seu equilíbrio.

Usando a regra da mão direita, obtemos o seguinte DCL (diagrama de corpo livre) para esse eixo:

Aplicando as condições de equilíbrio nesse eixo, vamos ter uma única equação (equilíbrio de torques), mas duas incógnitas ( T A e T B ).

Isso significa que esse é um problema estaticamente indeterminado.

Então também vamos precisar de uma equação de compatibilidade para resolver o exercício.

Qual vai ser a equação de compatibilidade nesse caso?

Nesse caso, temos que o eixo está fixo nos pontos A