Tubos de Paredes Finas

Teoria Completa

Introdução

Normalmente, usamos eixos cilíndricos para a transmissão de torques.

Então normalmente, a gente só se preocupa em calcular a tensão de cisalhamento τ e o ângulo de torção ϕ em eixos.

Mas às vezes, usamos um tubo de paredes finas no lugar de um eixo cilíndrico.

Um exemplo é o tubo abaixo, retangular, de dimensões externas B * h , com uma espessura t A nas faces superior e inferior e uma espessura t B nas faces laterais:

Para tubos como esse, as fórmulas τ m á x = T c / J e ϕ = T L / G J não servem mais.

Então nesse tópico, vamos ver quais são as fórmulas que servem para esses tubos.

Tensão de Cisalhamento Média

A primeira coisa que precisamos saber sobre esses tubos é que não é fácil calcular as tensões de cisalhamento máximas τ m á x neles.

Então ao invés disso, calculamos as tensões de cisalhamento médias τ m é d usando a fórmula:

τ m é d = T 2 t A m

Onde:

  • T é o torque interno no tubo;
  • t é a espessura da região do tubo onde está sendo calculada a tensão de cisalhamento média τ m é d ;
  • & A m é a área média do tubo, que vamos aprender a calcular a seguir.

Então dessa forma, caso o nosso tubo tivesse uma espessura t constante, a tensão cisalhante média nele todo seria τ m é d = T / 2 t A m .

Como no nosso exemplo, o tubo tem duas espessuras diferentes, ele vai ter:

  • Uma tensão cisalhante média τ m é d = T / 2 t A A m em todos os pontos em que o tubo tiver a espessura t A ;
  • E uma tensão cisalhante média τ m é d = T / 2 t B A m em todos os pontos em que o tubo tiver a espessura t B .

Área Média

E essa tal “área média do tubo” A m ? O que é isso?

Ela é a média entre a área A e x t delimitada pelas linhas externas da seção do tubo e a área A i n t delimitada pelas linhas internas, como mostra a imagem abaixo:

Dimensões Médias e o Cálculo da Área Média

Normalmente, para calcular A m , nós buscamos definir as dimensões médias do tubo.

Para tanto, podemos observar como a distância entre uma dimensão externa e uma dimensão média do tubo é igual à metade da espessura t daquela região:

Com isso, conseguimos definir, para o nosso exemplo, as dimensões médias ( h - t A ) e ( B - t B ) , resultando em uma área média A m = ( h - t A ) ( B - t B ) , como mostra a figura abaixo:

Ângulo de Torção

Já para calcular o ângulo de torção ϕ em um tubo de paredes finas, nós usamos a fórmula:

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

De início, essa fórmula parece complicada, mas se a gente olhar para ela com calma, vamos ver que ela não é tão difícil assim.

Primeiro, temos que:

  • T é o torque interno no tubo;
  • L é o comprimento;
  • A m é a área média;
  • & t é a espessura.

Além disso, de novo, nós temos:

  • O módulo de elasticidade transversal G do material do tubo, normalmente dado em G P a = k N / m m 2 ;
  • E o perímetro da área média s , que está nessa equação como a variável de integração da integral ∮ d s / t .

Então para sabermos calcular o ângulo de torção ϕ em um tubo de paredes finas, só nos resta saber como calcular essa integral:

∮ d s t

Cálculo da Integral

A primeira coisa que nós podemos observar sobre essa integral é o símbolo dela:

Essa bolinha na integral significa que ela é uma integral fechada ou de contorno.

Isso quer dizer que essa integral dá uma volta completa por sua variável de integração, que, nesse caso, é o perímetro s da área média.

Então para calcular essa integral, você pode:

  • Dividir o perímetro da área média em pequenos trechos ( 1 → 2 ) , ( 2 → 3 ) , ( 3 → 4 ) e ( 4 → 1 ) ;
  • E imaginar a integral dando uma volta por esses trechos,

Como na imagem abaixo:

Fazendo isso, nós vamos estar abrindo a nossa integral fechada em uma sequência de integrais abertas:

∮ d s t = ∫ 1 2 d s t + ∫ 2 3 d s t + ∫ 3 4 d s t + ∫ 4 1 d s t

Em seguida, como cada trecho tem uma espessura t constante – igual à t A para os trechos ( 1 → 2 ) e ( 3 → 4 ) e t B para ( 2 → 3 ) e ( 4 → 1 ) – podemos tirar essas espessuras das integrais:

∮ d s t = 1 t A ∫ 1 2 d s + 1 t B ∫ 2 3 d s + 1 t A ∫ 3 4 d s + 1 t B ∫ 4 1 d s

Com isso, as integrais ∫ d s que sobram vão ser iguais ao perímetro s de cada trecho, de tal forma que:

∮ d s t = s 12 t A + s 23 t B + s 34 t A + s 41 t B

Então sempre que você precisar calcular essa integral ∮ d s / t , basta aplicar essa metodologia da volta. 🛴😎

Finalização

Nessa matéria de tubos de paredes finas, a teoria é basicamente as fórmulas τ m é d = T / 2 t A m e ϕ = T L / 4 A m 2 G ∮ d s / t e o cálculo da área média A m .

O que importa mais é ter um pouco de prática para ter a confiança de lidar com qualquer formato de tubo que seus professores inventarem.

Então se você quiser treinar um pouco disso, é só seguir para os exercícios. 👊

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 163-5.98.

O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10   m m . Se a tensão de cisalhamento admissível for τ a d m = 80   M P a , determine o torque máximo T que ele pode transmitir. Calcule também o ângulo de torção de uma extremidade do tubo em relação à outra se o tubo tiver 4   m de comprimento. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As dimensões médias são mostradas na figura.

Dados: G a ç o = 75   G P a .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O tubo de paredes finas retangular tem dimensões médias de 30   m m e 70   m m . Consequentemente, ele tem uma área média A m e um perímetro da área média s :

A m = 30   m m 70   m m = 2100   m m 2

&

s = 2 30   m m + 2 70   m m = 200   m m

Além disso, ele possui:

  • Uma espessura constante t = 10   m m ;
  • Uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 80   M P a ;
  • Um módulo de elasticidade transversal G = G a ç o = 75   G P a ;
  • & um comprimento L = 4   m .

Devido a um torque T aplicado, ele vai sofrer uma tensão de cisalhamento média τ m é d e um ângulo de torção ϕ que vão ser dados pelas fórmulas:

τ m é d = T 2 t A m

&

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer saber qual é o torque T máximo que pode ser aplicado de tal forma que a tensão de cisalhamento média τ m é d na peça não ultrapasse a admissível:

τ m é d ≤ τ a d m

Em seguida, ele quer que a gente use o valor encontrado para T para calcular o ângulo de torção no tubo ϕ correspondente.

Passo 2

Então para encontrar o torque T máximo, vamos pegar a nossa condição de projeto:

τ m é d ≤ τ a d m

E desenvolvê-la, até que seja possível isolar o torque T .

A primeira coisa que podemos fazer é aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento média para tubos de paredes finas:

τ m é d = T 2 t A m

Fazendo isso, a nossa condição de projeto fica assim:

T 2 t A m ≤ τ a d m

Isolando o torque T , temos que:

T ≤ τ a d m 2 t A m

Finalmente, substituindo os valores:

  • τ a d m = 80   M P a = 80   N / m m 2 ;
  • t = 10   m m ;
  • & A m = 2100   m m 2 ,

Encontramos que:

T ≤ 3360000   N * m m

Reescrevendo isso em k N * m , temos que:

T ≤ 3,36   k N * m

Ou seja, T = 3,36   k N * m é o torque máximo que pode ser transmitido por esse tubo.

Passo 3

Agora, para a segunda parte do exercício, vamos calcular o ângulo de torção ϕ nesse tubo de paredes finas aplicando a sua fórmula:

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

No caso do nosso tubo, a espessura t é constante: ela é sempre igual à 10   m m ao longo de todo o perímetro s .

Então podemos colocar a espessura t do lado de fora da integral:

ϕ = T L 4 A m 2 G t ∮ d s

Em seguida, temos que a integral de todos os pedaços infinitesimais do perímetro da área média d s vai ser o próprio perímetro da área média s :

∮ d s = s

Dessa forma, o nosso ângulo de torção ϕ vai ficar assim:

ϕ = T L s 4 A m 2 G t

Substituindo os valores:

  • T = 3,36   k N * m = 3360   k N * m m ;
  • L = 4   m = 4000   m m ;
  • s = 200   m m ;
  • A m = 2100   m m 2 ;
  • G = 75   G P a = 75   k N / m m 2 ;
  • & t = 10   m m ,

E calculando tudo, encontramos que:

ϕ = 0,2032   r a d

A maioria dos professores prefere que os resultados finais sejam dados em graus ( ° ), então vamos fazer a conversão do ângulo acima de radianos para graus!

Para tanto, podemos perceber que:

π   r a d = 180 °

Ou seja:

r a d = 180 ° π

Substituindo isso no ângulo de torção encontrado, temos que:

ϕ = 0,2032   180 ° π

Calculando isso, encontramos nossa resposta para a segunda e última parte do exercício:

ϕ = 11,6 °

Resposta

T = 3,36   k N * m

&

ϕ = 11,6 °

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 164-5.102.

Um tubo com as dimensões mostradas na figura é submetido a um torque T = 50   N * m . Despreze as concentrações de tensão em seus cantos, determine a tensão de cisalhamento média no tubo nos pontos A e B .

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Passo 1

O que está acontecendo?

O tubo de paredes finas retangular possui dimensões conforme a figura abaixo:

Da figura, conseguimos ver como o tubo possui dimensões médias de 50 - 5 = 45   m m e de 50 - 3 = 47   m m :

Consequentemente, o tubo possui uma área média A m :

A m = 45   m m 47   m m = 2115   m m 2

Além disso, também da figura, conseguimos ver que o tubo possui, na região do ponto A , uma espessura t A = 3   m m e, na região do ponto B , uma espessura t B = 5   m m .

Um torque T = 50   N * m é aplicado no tubo.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões de cisalhamento médias τ m é d nos pontos A e B do tubo, que vão ser dadas pela fórmula:

τ m é d = T 2 t A m

Passo 2

Então primeiro, vamos começar calculando a tensão de cisalhamento média τ m é d no ponto A .

Aplicando a fórmula de τ m é d para A , temos que:

τ A m é d = T 2 t A A m

Substituindo os valores:

  • T = 50   N * m = 50000   N * m m ;
  • t A = 3   m m ;
  • & A m = 2115   m m 2 ,
  • Encontramos que:

    τ A m é d = 3,94   N / m m 2

    Mas, como N / m m 2 é o mesmo que M P a , isso significa que:

    τ A m é d = 3,94   M P a

    Passo 3

    Em seguida, vamos calcular a tensão de cisalhamento média τ m é d no ponto B .

    Aplicando a fórmula de τ m é d para B , temos:

    τ A m é d = T 2 t B A m

    Substituindo:

  • T = 50   N * m = 50000   N * m m ;
  • t B = 5   m m ;
  • & A m = 2115   m m 2 ,

Encontramos que:

τ A m é d = 2,36   N / m m 2 = 2,36   M P a

E assim terminamos o exercício!

Resposta

τ A m é d = 3,94   M P a

&

τ B m é d = 2,36   M P a

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Deseja-se construir um tubo de parede fina com espessura das paredes constantes. Sabendo que o tubo é retangular e possui as dimensões mostradas abaixo, determine o valor da espessura t do tubo sabendo que o material que ele é feito possui tensão de cisalhamento admissível de τ a d m = 12 5   M P a e o local em que ele será usado apresentará esforços torsores de T = 250   K N . m .

OBS:. PARA EFEITO DE CÁLCULO. Como consideramos espessuras de paredes finas para o nosso caso, qualquer valor de espessura que esteja sujeito a equação t 3 , t 4 , t 5 … pode ser desprezado por representar um valor muito pequeno.

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Passo 1

Como podemos notar, se trata de um problema relacionando a tubos de paredes finas quando ocorre torção dos elementos, sabemos que nesse tipo de questão devemos usar a fórmula

τ m é d = T 2   .   t   .     A m

Alguns valores determinamos facilmente, por exemplo o valor de T , que é dado no enunciado

T = 250   K N . m

Também determinamos facilmente o valor da tensão cisalhante média, como queremos a espessura máxima que o nosso tubo pode ter, queremos exatamente o valor limite que poderia causar o rompimento da peça, como isso temos que fazer

τ m é d = τ a d m = 12 5   M P a = 125000 K N m 2

Agora para determinarmos os outros valores devemos tomar um certo cuidado, pois estamos falando que tanto a área média quanto a própria espessura são valores que não conhecemos, vamos analisar então cuidadosamente.

Passo 2

Precisamos agora determinar a nossa área média, como sabemos a área média é dada pela área da figura quando tomamos como medida a metade de espessura de cada lado, como mostra a figura baixo, ou seja, podemos definir a nossa área média como

A m é d = 80 - t 30 - t = ( 0,8 - t ) ( 0,3 - t )

Substituindo isso na nossa equação principal teremos que

τ m é d = T 2   .   t   .     A m

120000 = 250 2   .   t   .     ( 0,8 - t ) ( 0,3 - t )

t   .     0,8 - t 0,3 - t = 250 2   .   125000 = 0,001

0,24 t - 0,8 t 2 - 0,3 t 2 + t 3 = 0,001

Como temos no nosso enunciado que podemos desprezar o valor de t 3 teremos a seguinte equação

1,1 t 2 - 0,24 t + 0,001 = 0

Como sabemos a nossa equação do segundo grau apresentará duas soluções, e a resposta mais adequada será a que possuir o menor valor de espessura, solucionando a nossa equação teremos que

t 1 = 0,214   m = 21,4   c m

t 2 = 4,1   .   10 - 3 m = 0,41   c m

Logo a espessura mais fina que o nosso tubo poderá ter é de

t = 0,41 c m

Como queremos trabalhar com valores usuais para quem fará o tubo, aproximaremos o valor para meio centímetro, ou seja

t = 0,50 c m

Resposta

t = 0,41 c m (valor calculado)

t = 0 , 50 c m (valor usual)

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Abaixo é dado um tubo de parede fina com seção circular. Sabendo que ele foi sujeito ao torque mostrado, determine o valor da tensão cisalhante média para esse tubo.

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Passo 1

Como podemos notar, se trata de um problema relacionando a tubos de paredes finas quando ocorre torção dos elementos, sabemos que nesse tipo de questão devemos usar a fórmula

τ m é d = T 2   .   t   .     A m

Alguns valores determinamos facilmente, por exemplo o valor de T , que é dado no enunciado

T = 18 0   K N . m

Também determinamos facilmente o valor da espessura do nosso tubo, que é dada por

t = 1,5 c m

Agora precisamos determinar o valor da área média do nosso tubo.

Passo 2

Precisamos agora determinar a nossa área média, como sabemos a área média é dada pela área da figura quando tomamos como medida a metade de espessura de cada lado, como mostra a figura baixo, ou seja, podemos definir a nossa área média como

A m é d = π   .   r - t 2 2

A m é d = π   .   D - t 2 4

Lembrando que

t = 1,5   c m = 1,5   .   10 - 2 m

r = 40 c m = 0,40   m

Substituindo isso na nossa equação principal teremos que

τ m é d = T 2   .   t   .     A m

τ m é d = 18 0 2   .   1,5   .   10 - 2 .   π   .   0,40 - 1,5   .   10 - 2 2 2

τ m é d = 12397 , 2 K N m 2 = 12,4   M P a

Resposta

τ m é d = 12,4   M P a

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Um tubo de aço com tensão cisalhante admissível igual a τ a d m = 90 M P a , foi sujeito a um torque T . Sabendo que a espessura desse tubo é de 5mm e que o raio externo do mesmo é de 60 cm, determine o torque T   máximo que podemos aplicar nesse tubo sem que ocorra o rompimento do mesmo.