Tubos de Paredes Finas

Teoria Completa

Introdução

Normalmente, usamos eixos cilíndricos para a transmissão de torques.

Então normalmente, a gente só se preocupa em calcular a tensão de cisalhamento τ e o ângulo de torção ϕ em eixos.

Mas às vezes, usamos um tubo de paredes finas no lugar de um eixo cilíndrico.

Um exemplo é o tubo abaixo, retangular, de dimensões externas B * h , com uma espessura t A nas faces superior e inferior e uma espessura t B nas faces laterais:

Para tubos como esse, as fórmulas τ m á x = T c / J e ϕ = T L / G J não servem mais.

Então nesse tópico, vamos ver quais são as fórmulas que servem para esses tubos.

Tensão de Cisalhamento Média

A primeira coisa que precisamos saber sobre esses tubos é que não é fácil calcular as tensões de cisalhamento máximas τ m á x neles.

Então ao invés disso, calculamos as tensões de cisalhamento médias τ m é d usando a fórmula:

τ m é d = T 2 t A m

Onde:

  • T é o torque interno no tubo;
  • t é a espessura da região do tubo onde está sendo calculada a tensão de cisalhamento média τ m é d ;
  • & A m é a área média do tubo, que vamos aprender a calcular a seguir.

Então dessa forma, caso o nosso tubo tivesse uma espessura t constante, a tensão cisalhante média nele todo seria τ m é d = T / 2 t A m .

Como no nosso exemplo, o tubo tem duas espessuras diferentes, ele vai ter:

  • Uma tensão cisalhante média τ m é d = T / 2 t A A m em todos os pontos em que o tubo tiver a espessura t A ;
  • E uma tensão cisalhante média τ m é d = T / 2 t B A m em todos os pontos em que o tubo tiver a espessura t B .

Área Média

E essa tal “área média do tubo” A m ? O que é isso?

Ela é a média entre a área A e x t delimitada pelas linhas externas da seção do tubo e a área A i n t delimitada pelas linhas internas, como mostra a imagem abaixo:

Dimensões Médias e o Cálculo da Área Média

Normalmente, para calcular A m , nós buscamos definir as dimensões médias do tubo.

Para tanto, podemos observar como a distância entre uma dimensão externa e uma dimensão média do tubo é igual à metade da espessura t daquela região:

Com isso, conseguimos definir, para o nosso exemplo, as dimensões médias ( h - t A ) e ( B - t B ) , resultando em uma área média A m = ( h - t A ) ( B - t B ) , como mostra a figura abaixo:

Ângulo de Torção

Já para calcular o ângulo de torção ϕ em um tubo de paredes finas, nós usamos a fórmula:

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

De início, essa fórmula parece complicada, mas se a gente olhar para ela com calma, vamos ver que ela não é tão difícil assim.

Primeiro, temos que:

  • T é o torque interno no tubo;
  • L é o comprimento;
  • A m é a área média;
  • & t é a espessura.

Além disso, de novo, nós temos:

  • O módulo de elasticidade transversal G do material do tubo, normalmente dado em G P a = k N / m m 2 ;
  • E o perímetro da área média s , que está nessa equação como a variável de integração da integral ∮ d s / t .

Então para sabermos calcular o ângulo de torção ϕ em um tubo de paredes finas, só nos resta saber como calcular essa integral:

∮ d s t

Cálculo da Integral

A primeira coisa que nós podemos observar sobre essa integral é o símbolo dela:

Essa bolinha na integral significa que ela é uma integral fechada ou de contorno.

Isso quer dizer que essa integral dá uma volta completa por sua variável de integração, que, nesse caso, é o perímetro s da área média.

Então para calcular essa integral, você pode:

  • Dividir o perímetro da área média em pequenos trechos ( 1 → 2 ) , ( 2 → 3 ) , ( 3 → 4 ) e ( 4 → 1 ) ;
  • E imaginar a integral dando uma volta por esses trechos,

Como na imagem abaixo:

Fazendo isso, nós vamos estar abrindo a nossa integral fechada em uma sequência de integrais abertas:

∮ d s t = ∫ 1 2 d s t + ∫ 2 3 d s t + ∫ 3 4 d s t + ∫ 4 1 d s t

Em seguida, como cada trecho tem uma espessura t constante – igual à t A para os trechos ( 1 → 2 ) e ( 3 → 4 ) e t B para ( 2 → 3 ) e ( 4 → 1 ) – podemos tirar essas espessuras das integrais:

∮ d s t = 1 t A ∫ 1 2 d s + 1 t B ∫ 2 3 d s + 1 t A ∫ 3 4 d s + 1 t B ∫ 4 1 d s

Com isso, as integrais ∫ d s que sobram vão ser iguais ao perímetro s de cada trecho, de tal forma que:

∮ d s t = s 12 t A + s 23 t B + s 34 t A + s 41 t B

Então sempre que você precisar calcular essa integral ∮ d s / t , basta aplicar essa metodologia da volta. 🛴😎

Finalização

Nessa matéria de tubos de paredes finas, a teoria é basicamente as fórmulas τ m é d = T / 2 t A m e ϕ = T L / 4 A m 2 G ∮ d s / t e o cálculo da área média A m .

O que importa mais é ter um pouco de prática para ter a confiança de lidar com qualquer formato de tubo que seus professores inventarem.

Então se você quiser treinar um pouco disso, é só seguir para os exercícios. 👊

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 163-5.98.

O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10   m m . Se a tensão de cisalhamento admissível for τ a d m = 80   M P a , determine o torque máximo T que ele pode transmitir. Calcule também o ângulo de torção de uma extremidade do tubo em relação à outra se o tubo tiver 4   m de comprimento. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As dimensões médias são mostradas na figura.

Dados: G a ç o = 75   G P a .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

O tubo de paredes finas retangular tem dimensões médias de 30   m m e 70   m m . Consequentemente, ele tem uma área média A m e um perímetro da área média s :

A m = 30   m m 70   m m = 2100   m m 2

&

s = 2 30   m m + 2 70   m m = 200   m m

Além disso, ele possui:

  • Uma espessura constante t = 10   m m ;
  • Uma tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 80   M P a ;
  • Um módulo de elasticidade transversal G = G a ç o = 75   G P a ;
  • & um comprimento L = 4   m .

Devido a um torque T aplicado, ele vai sofrer uma tensão de cisalhamento média τ m é d e um ângulo de torção ϕ que vão ser dados pelas fórmulas:

τ m é d = T 2 t A m

&

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer saber qual é o torque T máximo que pode ser aplicado de tal forma que a tensão de cisalhamento média τ m é d na peça não ultrapasse a admissível:

τ m é d ≤ τ a d m

Em seguida, ele quer que a gente use o valor encontrado para T para calcular o ângulo de torção no tubo ϕ correspondente.

Passo 2

Então para encontrar o torque T máximo, vamos pegar a nossa condição de projeto:

τ m é d ≤ τ a d m

E desenvolvê-la, até que seja possível isolar o torque T .

A primeira coisa que podemos fazer é aplicar a fórmula da tensão de cisalhamento média para tubos de paredes finas:

τ m é d = T 2 t A m

Fazendo isso, a nossa condição de projeto fica assim:

T 2 t A m ≤ τ a d m

Isolando o torque T , temos que:

T ≤ τ a d m 2 t A m

Finalmente, substituindo os valores:

  • τ a d m = 80   M P a = 80   N / m m 2 ;
  • t = 10   m m ;
  • & A m = 2100   m m 2 ,

Encontramos que:

T ≤ 3360000   N * m m

Reescrevendo isso em k N * m , temos que:

T ≤ 3,36   k N * m

Ou seja, T = 3,36   k N * m é o torque máximo que pode ser transmitido por esse tubo.

Passo 3

Agora, para a segunda parte do exercício, vamos calcular o ângulo de torção ϕ nesse tubo de paredes finas aplicando a sua fórmula:

ϕ = T L 4 A m 2 G ∮ d s t

No caso do nosso tubo, a espessura t é constante: ela é sempre igual à 10   m m ao longo de todo o perímetro s .

Então podemos colocar a espessura t do lado de fora da integral:

ϕ = T L 4 A m 2 G t ∮ d s

Em seguida, temos que a integral de todos os pedaços infinitesimais do perímetro da área média d s vai ser o próprio perímetro da área média