Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

PUCRIO-P2-2014.2-5

Seja " X " e " Y " duas variáveis aleatórias contínuas, das quais se conhece:

f x , y = x . y 3 + x 2   ,     o n d e   0 < x 1   e   0 y 2

f x ( x ) = x 2 + 2 . x 3       ,     o n d e   0 < x 1

f y y = 1 3 + y 6       ,     o n d e   0 y 2

Pede-se:

  1. Calcule a média condicional de X dado Y = y . Se y = 1,3 , qual a média condicional de X dado Y = 1,3 ?
  2. Calcule a variância condicional de X dado Y = y . Se y = 1,3 , qual a variância condicional de X dado Y = 1,3 ?

Passo 1

(a)

Para calcular a condicional de X , dado Y = y , usaremos a fórmula:

f X | Y x y = f x , y f y y

Já conhecemos tudo:

f x , y = x . y 3 + x 2

f y y = 1 3 + y 6

Então, substituindo:

f X | Y x y = x . y 3 + x 2 1 3 + y 6

f X | Y x y = 3 x 2 + x y 3 2 + y 6

f X | Y x y = 3 x 2 + x y 3 × 6 2 + y

f X | Y x y = 6 x 2 + 2 x y 2 + y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para calcular a média condicional de X , dado Y = y , usamos:

E X Y = y = 0 1 x . f X | Y x y   d x

Note que a integral vai de 0 a 1 pois é o intervalo em que vale a variável x . Assim:

E X Y = y = 0 1 x . 6 x 2 + 2 x y 2 + y   d x

= 1 2 + y . 0 1 6 x 3 + 2 x 2 y   d x

= 1 2 + y . 6 x 4 4 + 2 y x 3 3 0 1

= 1 2 + y × 3 2 + 2 y 3

= 1 2 + y × 9 + 4 y 6

= 9 + 4 y 12 + 6 y

Passo 3

Pra calcular a média condicional com Y = 1,3 é só substituir ali em cima y = 1,3 .

Ficaria...

E X Y = 1,3 = 9 + 4 × 1,3 12 + 6 × 1,3

= 0,717

Passo 4

(b)

Pra calcular a variância condicional de X , dado Y = y , vamos usar primeiro a relação:

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2

Então primeiro temos que calcular E X 2 Y = y .

E X 2 Y = y = 0 1 x ² . f x y   d x

Note a integral de 0 a 1 novamente aqui!

= 0 1 x ² . 6 x 2 + 2 x y 2 + y   d x

= 1 2 + y . 0 1 6 x 4 + 2 x 3 y   d x

= 1 2 + y . 6 x 5 5 + 2 y x 4 4 0 1

= 1 2 + y × 6 5 + 2 y 4

= 1 2 + y × 24 + 10 y 20

= 24 + 10 y 40 + 20 y

Dividindo tudo por 2:

E X 2 Y = y = 12 + 5 y 20 + 10 y

Passo 5

Mas calculamos lá em cima que

E X Y = y = 9 + 4 y 12 + 6 y

Certo? Substituindo, então, os valores que a gente agora já conhece.

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2

V a r X Y = y = 12 + 5 y 20 + 10 y - 9 + 4 y 12 + 6 y 2

= 12 + 5 y 10 ( 2 + y ) - 9 + 4 y 6 ( 2 + y ) 2

= 12 + 5 y 10 ( 2 + y ) - 9 + 4 y 2 36 2 + y 2

O mmc dos denominadores é 180 2 + y 2 , então vamos escrever as duas frações com um denominador comum:

= 18 ( 12 + 5 y ) ( 2 + y ) 180 2 + y 2 - 5 9 + 4 y 2 180 2 + y 2

= 18 ( 5 y 2 + 22 y + 24 ) 180 2 + y 2 - 5 ( 16 y 2 + 72 y + 81 ) 180 2 + y 2

= 90 y 2 + 396 y + 432 - ( 80 y 2 + 360 y + 405 ) 180 2 + y 2

= 10 y 2 + 36 y + 27 180 2 + y 2

Ou então:

= 10 y 2 + 36 y + 27 180 ( y 2 + 4 y + 4 )

= 10 y 2 + 36 y + 27 180 y 2 + 720 y + 720

Portanto:

V a r X Y = y = 10 y 2 + 36 y + 27 180 y 2 + 720 y + 720

Passo 6

Agora pra calcular isso pra Y = 1,3 , é só substituir o valor:

V a r X Y = 1,3 = 10 × 1,3 2 + 36 × 1,3 + 27 180 × 1,3 2 + 720 × 1,3 + 720

= 90,7 1960,2 0,046

Resposta

a   0,717

b   0,046

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