Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

Teoria Completa

Medidas de Dispersão de uma V.a. Multidimensional Discreta

Agora vamos ver como ficam aqueles valores que a gente conhece pra v.a. pra variáveis bidimensionais. Relaxa aí que são muitas fórmulas, não precisa se assustar, nossa tabelinha vai ajudar muito.

Por exemplo na tabela abaixo onde relacionamos o número X de defeitos de uma pessoa com o número Y de qualidades:

E ( X ) e E ( Y ) continuam sendo calculadas da mesma forma.

A gente iria ter:

E X = 0 × 0,1 + 1 × 0,3 + 2 × 0,6 = 1,5

E Y = 0 × 0,14 + 1 × 0,34 + 2 × 0,28 + 3 × 0,24 = 1,62

Mas aí surgirá E X , Y → esperança da variável bidimensional, que será calculada assim:

E X , Y = 0 × 0 × 0,00 + 0 × 1 × 0,05 + 0 × 2 × 0,04 + 0 × 3 × 0,01 + 1 × 0 × 0,08 +

1 × 1 × 0,15 + 1 × 2 × 0,04 + … + 2 × 3 × 0,20 = 2,6

Pegou ? Dá uma olhada na nossa tabela de novo pra você pegar bem o raciocínio. Fui multiplicando todos os valores x i e y i pelos valores de dentro da tabela.

Sabendo isso, você está preparado para ser apresentado a mais fórmulas

Covariância → C o v ( X , Y ) . Existem 2 fórmulas possíveis.

C o v X , Y = E X , Y - E X . E ( Y )

V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2 . C o v ( X , Y )

Nota: Se X e Y são independentes então C o v X , Y = 0

Medidas de Dispersão de uma V.a. Multidimensional Contínua

Pra fechar, adivinha? Faltou aprender a calcular a esperança e a variância dessas variáveis bidimensionais contínuas.

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x . f x , y   d x d y

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y . f x , y   d x d y

V a r X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 . f x , y   d x d y - E X 2

V a r Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y 2 . f x , y   d x d y - E Y 2

E a esperança bidimensional contínua vai ser:

E X Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y . f x , y   d x d y

Reparou que lá no caso discreto a gente denotou a esperança bidimensional como E X , Y e agora como E ( X Y ) ? Pois é, isso não faz diferença! Só fica mais claro para a gente diferenciar o caso discreto do contínuo. Fica tranquilo(a) que significam a mesma coisa.

Lembrando que o desvio padrão ainda é a raiz quadrada a variância, nada mudou!

Existem também fórmulas para esperança condicional e variância condicional.

A esperança condicional acontece sempre que for pedido “qual a esperança de Y , dado que X = x ...”:

E Y X = x = ∫ - ∞ ∞ y . f y x   d y

Então precisamos conhecer nossa função de densidade condicional para calculá-la, que vimos no tópico passado!

E a variância condicional quando for pedido a variância de Y , dado que X = x :

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2

Repara que a variância condicional segue o mesmo padrão de todas as fórmulas de variância que vimos! É a esperança da variável ao quadrado menos a esperança ao quadrado dessa mesma variável. Mas como estamos no caso condicional, as esperanças da equação passam a ser as condicionais também!

O que mudou, é que agora vou te apresentar duas novas medidas, ansioso? Haha, nada demais!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 206-03

Considere a distribuição conjunta de X e Y, conhecida, dada na tabela abaixo.

Considerando X e Y independentes.

b) Calcule as médias de X, Y e XY

d) Calcule a variância de X,Y e X+Y

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Passo 1

Sabemos que

E X = ∑ x . P ( X = x )

Portanto

E X = ∑ i = - 1 1 x i . P X = x i = - 1 . 1 2 + 0 . 0 + 1 . 1 2 = 0

E Y = ∑ j = - 1 1 y j . P Y = y j = - 1 . 1 6 + 0 . 1 3 + 1 . 1 2 = 1 3

Passo 2

Para calcular E(XY) usaremos

E X Y = ∑ x i y j P ( X = x i , Y = y j )

E X Y = - 1 - 1 1 12 + - 1 0 0 + - 1 1 1 12 + 0 - 1 1 6 + 0 0 0 + 0 1 1 6 + 1 - 1 1 4 + 1 0 0 + 1 1 1 4 = 0

Passo 3

Para o cálculo da Var(X) precisamos lembrar da seguinte fórmula:

V a r X = E X 2 - E X 2

Portanto precisamos calcular E ( X 2 )

E X 2 = - 1 2 1 2 + 0 2 0 + 1 2 1 2 = 1

E Y 2 = - 1 2 1 6 + 0 2 1 3 + 1 2 1 2 = 2 3

Substituindo na fórmula teremos

V a r X = 1 - 0 2 = 1

V a r Y = 2 3 - 1 3 2 = 5 9

Passo 4

Para calcular Var(X+Y) usaremos

V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2 . C o v ( X , Y )

C o v X , Y = E X , Y - E X . E ( Y )

Vamos lá!

C o v X , Y = 0 - 0.1 3 = 0

V a r X + Y = 1 + 5 9 + 2 × 0 = 14 9

Resposta

E X = 0

E Y = 1 3

E X Y = 0

V a r X = 1

V a r Y = 5 9

V a r X + Y = 14 9

Exercício Resolvido #2

FONTE -08

Numa urna têm-se cinco bolas marcadas com os seguintes números: -1, 0, 0, 0, 1. Retiram-se três bolas, simultaneamente: X indica a soma dos números extraídos e Y o maior valor da trinca. Calcule:

b) E(X) e Var(X)

c) E(X,Y)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Montamos a tabela de distribuição em um exercício anterior lembram? (Exercício de Fixação 2 – Tipo Introdução à Probabilidade Conjunta):

Y\X

-1

0

1

P(Y=y)

0

0,3

0,1

0

0,4

1

0

0,3

0,3

0,6

P(X=x)

0,3

0,4

0,3

Vamos calcular agora E(X)

E X = ∑ x . P X = x

E X = - 1 . 0,3 + 0 0,4 + 1 0,3 = 0

Passo 2

Calculando Var(X)

V a r X = E X 2 - E X 2

Para isso precisamos calcular E X 2

E X 2 = - 1 2 0,3 + 0 2 0,4 + 1 2 0,3 = 0,6

Portanto

V a r X = 0,6 - 0 2 = 0,6  

Passo 3

Agora precisamos calcular E(XY). Pela tabela é fácil, saca só:

E X , Y = 0 - 1 0,3 + 0 0 0,1 + 0 1 0 + 1 - 1 0 + 1 0 0,3 + 1 1 0,3 = 0,3

Resposta

E X = 0

V a r X = 0,6