Teoria Completa
Medidas de Dispersão de uma V.a. Multidimensional Discreta
Agora vamos ver como ficam aqueles valores que a gente conhece pra v.a. pra variáveis bidimensionais. Relaxa aí que são muitas fórmulas, não precisa se assustar, nossa tabelinha vai ajudar muito.
Por exemplo na tabela abaixo onde relacionamos o número de defeitos de uma pessoa com o número de qualidades:
e continuam sendo calculadas da mesma forma.
A gente iria ter:
Mas aí surgirá esperança da variável bidimensional, que será calculada assim:
Pegou ? Dá uma olhada na nossa tabela de novo pra você pegar bem o raciocínio. Fui multiplicando todos os valores e pelos valores de dentro da tabela.
Sabendo isso, você está preparado para ser apresentado a mais fórmulas
Covariância . Existem 2 fórmulas possíveis.
Nota: Se e são independentes então
Medidas de Dispersão de uma V.a. Multidimensional Contínua
Pra fechar, adivinha? Faltou aprender a calcular a esperança e a variância dessas variáveis bidimensionais contínuas.
E a esperança bidimensional contínua vai ser:
Reparou que lá no caso discreto a gente denotou a esperança bidimensional como e agora como ? Pois é, isso não faz diferença! Só fica mais claro para a gente diferenciar o caso discreto do contínuo. Fica tranquilo(a) que significam a mesma coisa.
Lembrando que o desvio padrão ainda é a raiz quadrada a variância, nada mudou!
Existem também fórmulas para esperança condicional e variância condicional.
A esperança condicional acontece sempre que for pedido “qual a esperança de , dado que ...”:
Então precisamos conhecer nossa função de densidade condicional para calculá-la, que vimos no tópico passado!
E a variância condicional quando for pedido a variância de , dado que :
Repara que a variância condicional segue o mesmo padrão de todas as fórmulas de variância que vimos! É a esperança da variável ao quadrado menos a esperança ao quadrado dessa mesma variável. Mas como estamos no caso condicional, as esperanças da equação passam a ser as condicionais também!
O que mudou, é que agora vou te apresentar duas novas medidas, ansioso? Haha, nada demais!
Exercício Resolvido #1
Considere a distribuição conjunta de X e Y, conhecida, dada na tabela abaixo.
Considerando X e Y independentes.
b) Calcule as médias de X, Y e XY
d) Calcule a variância de X,Y e X+Y
Passo 1
Sabemos que
Portanto
Passo 2
Para calcular E(XY) usaremos
Passo 3
Para o cálculo da Var(X) precisamos lembrar da seguinte fórmula:
Portanto precisamos calcular
Substituindo na fórmula teremos
Passo 4
Para calcular Var(X+Y) usaremos
Vamos lá!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Numa urna têm-se cinco bolas marcadas com os seguintes números: -1, 0, 0, 0, 1. Retiram-se três bolas, simultaneamente: X indica a soma dos números extraídos e Y o maior valor da trinca. Calcule:
b) E(X) e Var(X)
c) E(X,Y)
Passo 1
Montamos a tabela de distribuição em um exercício anterior lembram? (Exercício de Fixação 2 – Tipo Introdução à Probabilidade Conjunta):
Y\X
-1
0
1
P(Y=y)
0
0,3
0,1
0
0,4
1
0
0,3
0,3
0,6
P(X=x)
0,3
0,4
0,3
Vamos calcular agora E(X)
Passo 2
Calculando Var(X)
Para isso precisamos calcular
Portanto
Passo 3
Agora precisamos calcular E(XY). Pela tabela é fácil, saca só:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Seja e duas variáveis aleatórias contínuas, das quais se conhece:
Pede-se:
- Calcule a média condicional de dado . Se , qual a média condicional de dado ?
- Calcule a variância condicional de dado . Se , qual a variância condicional de dado ?
Passo 1
(a)
Para calcular a condicional de , dado , usaremos a fórmula:
Já conhecemos tudo:
Então, substituindo:
Passo 2
Agora para calcular a média condicional de dado , usamos:
Note que a integral vai de a pois é o intervalo em que vale a variável . Assim:
Passo 3
Pra calcular a média condicional com é só substituir ali em cima .
Ficaria...
Passo 4
(b)
Pra calcular a variância condicional de , dado , vamos usar primeiro a relação:
Então primeiro temos que calcular
Note a integral de a novamente aqui!
Dividindo tudo por 2:
Passo 5
Mas calculamos lá em cima que
Certo? Substituindo, então, os valores que a gente agora já conhece.
O mmc dos denominadores é , então vamos escrever as duas frações com um denominador comum:
Ou então:
Portanto:
Passo 6
Agora pra calcular isso pra , é só substituir o valor:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Sejam e v.a. contínuas com densidade conjunta:
Dados:
Marginal de :
Marginal de :
Pede-se:
- Densidade condicional de dado .
- Média condicional de dado , e calcule o valor quando .
- Variância condicional de dado , e calcule o valor quando .
Passo 1
(a)
Pra resolver cada um desses itens vai ser basicamente aplicar fórmula, então vamos lá.
Pra calcular a densidade condicional , vamos aplicar:
Os dois já são dados do problema, só fazer conta.
Passo 2
Vamos as contas...
Tá bom por aí já.
Passo 3
(b)
Agora a fórmula é:
De a porque esses são os limites de do enunciado.
Esse valor de dentro da integral foi o que a gente usou no item anterior.